Изменения

|definition='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.<br>== Построение кода Грея для перестановок ==

'''Элементарная транспозиция''' Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k---}} транспозиция двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.1}\}</tex>

* <tex>\{| border="1" | n=2 || n=3 |- | \underline{1k, 2a_1} || , a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, 2\underline{k, 3a_2} |, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> | * <tex>\{a_1, a_2, \underline{2k, 1a_3} || , \dots, a_{k-1, 3, 2}\}</tex> |- | || * <tex>\{3a_1, 1a_2, a_3, 2} |- | || \underline{3k, 2\dots}, a_{k-1}\}</tex> |- | || * <tex>\{2a_1, a_2, 3a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex> |- | || * <tex>\{2a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, 3} |k\}</tex>

== Построение Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок ==длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:

Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$<tex>\{b_1, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n b_2,b_3, \dots, b_{k- 1$.Для $n = 1$ код Грея выглядит так:}\}</tex>

Будем строить код Грея для перестановок длины $n = * <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k$. Предположим-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = b_{k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:}\}</tex>

$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..Продолжаем аналогично.Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), a_{k-1}\}$ и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ {{---}} элементы перестановкиэтом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.

Элемент $a_{Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k}$ запишем </tex> новых перестановок, в начало этой сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки:отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.

$\{a_{k}, a_== Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1}, a_</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$</tex>|-Будем |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"двигать| <tex>2</tex>|style=" этот элемент $a_{k}$ вправо, меняя его с соседнимbackground-color:#FFF;padding: $2px 30px"| <tex>\{a_{k}, a_{1}, a_{2\}, a_{3}, ..., a_{k - 1</tex>|}\}$ (1)

$'''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_\underline{3, 2}, 1\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, a_\underline{k3, 1}\}, a_</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, a_{3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, ...\underline{2, a_3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{k - 1, 3}, 2\}$ (</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2)\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}

$Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{a_{1\}, a_{2}, a_{3}, a_{k}, .</tex>.., a_{k - 1}\}$

$ '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.......................$append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>

$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, == Реализация в нерекурсивном виде..., a_{k}, a_{k Алгоритм Джонсона- 1}\}$Троттера ==

$=== Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{a_{1}, a_{3, 2, 4, 5\}, a_\;d = \{3\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>.На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки.После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего., a_Изначально <tex> p = \{k - 1, \dots ,n\}, a_\;d = \{k}\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}$ (3)</tex>.

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея === Пример работы алгоритма для перестановок длиной $n = k - 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1$\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили\textbf{3}, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1)\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, (\leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>

$\=== Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {a_{2}1, ... , a_{1n}, a_ '''list<char>''' dir = {3}←, ..., a_{k ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == - 1}\}$) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево=== Доказательство корректности ===Очевидно, меняя его с правостоящим:что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.

$Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{a_\text {2$\to$}}, a_{1a}, a_</tex> {{3---}}, элемент с заданным направлением(компонента)..., a_*<tex>P[i]</tex> {{k - 1--}}, a_перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{ka\}\;</tex> {{---}}$ (4)перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

${{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{a_\text {2$\leftarrow$}}, a_{1n}, a_</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {3$\to$}}, ..., a_{kn}, a_{k - 1</tex>.}\}$

${{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{a_n\} = P[i + 2]\backslash\{2n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, a_что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {1$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, a_либо компонента <tex>\overset{k\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, a_то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{3n\}, = ..., a_= P[i + n]\backslash\{k - 1n\}</tex>.}\}$

$Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{a_n\} = P[i + 1]\backslash\{2n\}, a_= ... = P[i + n]\backslash\{kn\}</tex>, a_{если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1}</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, a_{3}что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции.Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>.В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, a_{k что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }\}$

$\{a_{k}===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, a_{2}что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, a_{1}менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, a_{3}так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов).Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>.Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>., a_{k Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1}\}$)! = O(n!)</tex>.

Опять получили $k$ различных перестановок===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из кода Грея для перестановок длиной $<tex>n = k - 1$</tex> элемента), записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправоа только текущую. Следовательно, как для первой перестановки и тэтот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти.дТакже, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

Для каждой перестановки длиной $n = k ==Интересный факт===Существует более общая формулировке задачи {{- 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. }} для любых двух соседних перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позицияхдолжно выполняться,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же что позицииодинаковых чисел в них отличаются не более, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (смчем на единицу. (3)Для этой формулировки верно, (4)). Так же все соседние что для любой перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных <tex>u</tex> число различных перестановок {{---}} имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции<tex>v</tex>, но отличаются в одной транспозициикоторые могут стоять после <tex>u</tex>, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $равно <tex>n = k - + 1$, см (3), (4))</tex> числу Фибоначчи. Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ полученЭтот факт был открыт студентом нашего университета.

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $<tex>f$ </tex> и $<tex>g$</tex>, соединены ребром, если $<tex>g$ </tex> образуется из $<tex>f$ </tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

== Псевдокод получения следующего кода Грея Источники информации ==* Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

Пусть нам известен код Грея для длины $n-1$, записанный в массив pred_perest[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).  t := false; {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу} for i := 1 to (n - 1)! do {перебираем все прошлые перестановки} if t = true then begin vstavka(pred_perest[i], t); {вставляем в конец, если t = true} writeln(pred_perest[i]); for j Категория:= 1 to n - 1 do {для каждой перестановки делаем n - 1 транспозиций} begin swap(pred_perest[i](j), pred_perest[i](j + 1)); {меняем j и j + 1 элементы местами} t := false; writeln(pred_perest[i]); end; end else begin vstavka(pred_perest[i], t); {вставляем в начало, если t = false} writeln(pred_perest[i]); for j := n - 1 downto 1 do begin swap(pred_perest[i](j), pred_perest[i](j + 1)); {меняем j и j + 1 элементы местами} t := true; writeln(pred_perest[i]); end; end; == См. также ==* [[Коды Грея]]* [[Комбинаторные объекты]]* [[Гамильтонов путьКомбинаторика ]]== Литература ==Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41