Изменения

|definition='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.<br>== Построение кода Грея для перестановок ==

'''Элементарная транспозиция''' Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k---}} транспозиция двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.1}\}</tex>

* <tex>\{| border="1" | n = 2 || n = 3 |- | \underline{1k, 2a_1} || , a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, 2\underline{k, 3a_2} |, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> | * <tex>\{a_1, a_2, \underline{2k, 1a_3} || , \dots, a_{k-1, 3, 2}\}</tex> |- | || * <tex>\{3a_1, 1a_2, a_3, 2} |- | || \underline{3k, 2\dots}, a_{k-1}\}</tex> |- | || * <tex>\{2a_1, a_2, 3a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex> |- | || * <tex>\{2a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, 3} |k\}</tex>

== Построение Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок ==длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:

Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим<tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = b_{k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:}\}</tex>

{aЭлемент ₁, a₂, a₃, ..., a<subtex>k-1</subtex>} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ {{---}} элементы перестановки.записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:

Элемент $a_* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}$ запишем в начало этой перестановки:, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>

{'''aПродолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <subtex>k</sub>''', a<sub>1</subtex>в один конец (поочерёдно), a₂, a₃и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список..., a_{k - 1}}

Будем "двигать" этот элемент $a_{Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k}$ вправо, меняя его с соседним- 1</tex> (всего <tex>(жирным выделены элементы, которые поменялисьk - 1)!</tex> штук):*{aпо <subtex>k</subtex>новых перестановок, aв сумме <subtex>k\cdot(k - 1)! = k!</subtex>перестановок. Все они различны, aтак как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <subtex>2k</subtex>стоит на разных позициях, aа если <subtex>3k</subtex>стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>.Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции..Итого, aмы получили список из <subtex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k - 1</subtex>} (1), причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.

*{== Примеры кодов Грея для перестановок =='''a₁Перестановки для n = 2''', '''a{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>k1</subtex>''', a|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>\{2, 1\} </subtex>, a|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>32</subtex>, ..., a|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>k - \{1, 2\} </subtex>|} (2)

*'''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){a| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>1</subtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, '''a1\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>2</subtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>'''\{2, \underline{3, '''a1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>k3</subtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>'''\{\underline{2, 1}, a3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <subtex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</subtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, ...3}, a2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6<sub/tex>k |style="background- color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </subtex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}

*$Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>..........................$

* '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{a1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<subint>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</subfont color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, a{n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current<sub/font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</subfont color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, aperm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <subfont color=darkgreen>3 //добавляем в ответ перестановку current</subfont color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result..., append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not'''abackward <subfont color=darkgreen>k //меняем состояние backward</subfont color=darkgreen> '''return', a'' result <subfont color=darkgreen>k - 1 //возвращаем ответ в виде списка</subfont color=darkgreen>}

*{a₁, a₂, a₃, == Реализация в нерекурсивном виде..., '''a_{k Алгоритм Джонсона- 1}''', '''a_k'''} (3)Троттера ==

Получим $k$ различных перестановок=== Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, отличающихся в одной транспозицииесли по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Возьмем следующую строку из кода Грея Например, для перестановок длиной $n <tex> p = k - \{1$, которая будет выглядеть так (т3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>.кНа каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. мы получили, что элемент стоящий После чего поменяем направление стрелок на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо смпротивоположное у всех элементов больших текущего. (Изначально <tex> p = \{1), (2)\dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots , то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):\leftarrow\}</tex>.

=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{'''a1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<subtex>p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</subtex>''', '''a*<subtex>p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</subtex>''', a*<subtex>p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</subtex>*<tex>p = \{2, ...\textbf{3}, a1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}<sub/tex>k - *<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</subtex>}

Элемент $a_=== Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {k←, ... , ←}$ записываем '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в конец и начинаем "двигать" влевоответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], меняя его с правостоящим:dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

*{a₂, a₁, a₃, ..., a_{k - 1}, a_k} (4)*{a₂, a₁, a₃, ..., '''a_k''', '''a_{k - 1}'''}*..........................=== Доказательство корректности ===*{a₂Очевидно, a₁, a₃, '''a_k'''что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма...Осталось доказать, a_{k - 1}}*{a₂, a₁, '''a_k''', '''a₃''', ..что таким образом мы сгенерируем все перестановки., a_{k - 1}}*{a₂, '''a_k''', '''a₁''', a₃, ..., a_{k - 1}}*{'''a_k''', '''a₂''', a₁, a₃, ..., a_{k - 1}}

Опять получили Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$k\to$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k }}{a}</tex> {{--- 1$, записываем в ее начало }} элемент $a_с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{k---}}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и тперестановка с номером <tex>i</tex>.д*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

Для каждой перестановки длиной $n {{Утверждение|id= k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! approval1|statement= k!$ перестановок. Все они различныЧисло <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {k}$ стоит на разных позициях,а если \leftarrow$a_}}{kn}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1\to$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{---}} имеют $a_{kn}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен</tex>.}}

{{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}

Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, 2а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }}

Тогда следуя алгоритму полученный код ===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет выглядеть <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(жирным выделены элементы, которые поменялисьn)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.

* {3, 2, 1} {{===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона---}} берем первую перестановку и добавляем в начало тройку* {'''2''', '''3'''Троттера является то, 1} {{-что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n --}} двигаем до последней позиции* {2, '''1''', '''3'''}* {'''1''', '''2'''</tex> элемента), 3} {{---}} берем следующую перестановку и записываем тройку в конец* {1а только текущую. Следовательно, '''3'''этот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти. Также, '''2'''} {{--из-}} двигаем в начало* {'''3''', '''1''', 2}за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

Код Грея получен. == Псевдокод получения следующего кода Грея =Интересный факт=== Пусть нам известен код Грея для длины $n Существует более общая формулировке задачи {{- 1$, записанный в массив prev_perm[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).  t := false; {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу} for i := 1 to (n - 1)! do {перебираем все прошлые перестановки} if t = true then begin insert(prev_perm[i]для двух соседних перестановок должно выполняться, t); {вставляем что позиции одинаковых чисел в конецних отличаются не более, если t = true}чем на единицу. writeln(prev_perm[i]); for j := 1 to n - 1 do {Для этой формулировки верно, что для каждой любой перестановки делаем n - 1 транспозиций} begin swap(prev_perm[i](j), pred_perest[i](j + 1)); {меняем j и j + 1 элементы местами} t := false; writeln(prev_perm[i]); end; end else begin insert(prev_perm[i]<tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, t); {вставляем в началокоторые могут стоять после <tex>u</tex>, если t = false} writeln(prev_perm[i]); for j := равно <tex>n - 1 downto 1 do begin swap(prev_perm[i](j), prev_perm[i](j + 1)); {меняем j и j + 1 элементы местами}</tex> числу Фибоначчи. t := true; writeln(prev_perm[i]); end; end;Этот факт был открыт студентом нашего университета.

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $<tex>f$ </tex> и $<tex>g$</tex>, соединены ребром, если $<tex>g$ </tex> образуется из $<tex>f$ </tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]