Изменения

Будем строить код Грея для длины <tex>n == Определения ==k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>

Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов). * <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{Определениеk-1}\}</tex>|definition=* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>'''Коды Грея для перестановок''' * <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\} упорядочение </tex> Получим <tex>k</tex> различных перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только отличающихся одной элементарной транспозицией.Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <brtex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:

'''Элементарная транспозиция''' <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k---}} транспозиция двух соседних элементов.1}\}</tex>

* <tex>\{| border="1" cellpadding="3" | $n = 2$ || $b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, 2k}\}$ || $</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{2\dots, k}, b_{k-1}\}$ |-</tex> | $n = 3$ || $* <tex>\{1b_1, 2b_2, 3\underline{b_3, k}$ || $, \dots, b_{k-1, 3, 2}\}$ || $</tex>* <tex>\{3b_1, 1\underline{b_2, 2\k}$ || $, b_3, \dots, b_{3, 2, k-1}\}$ || $</tex>* <tex>\{\underline{2b_2, k}, 3b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}$ || $</tex>* <tex>\{2k, 1b_1, b_2, b_3, 3\dots, b_{k-1}$ |\}</tex>

Будем строить код Грея Таким образом получаем для длины $n каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k$!</tex> перестановок. ПредположимВсе они различны, что нам известен код так как для любых двух перестановок из нового кода Грея для элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $<tex>k - 1$</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кодаТак же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Она имеет следующий вид: $\{a_1Итого, a_2мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, a_3, \dots, a_{k-1}\}$причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.

Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки== Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>|}

* $'''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{k3, a_12}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку* $|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_12, \underline{k3, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, \underline{k2, a_31}, 3\dots, a_{k}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-1}\}$color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, a_31, \underline{k2, 3}\dots}, a_{k</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-1}\}$color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k1, a_{k-1}3}, 2\}$</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_13, a_2, a_31, 2\dots, a_{k} </tex>|style="background-1}, k\color:#FFF;padding:2px 30px"| |}$

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из == Псевдокод получения кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):=

$\{a_2, a_1, a_3Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\dots, a_{k-1}\}$</tex>.

Элемент $k$ записываем '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец и начинаем "двигать" его влево:perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>

* $\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k== Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-1}, k}\}$* $\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}$* $\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}$* $\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$* $\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$* $\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$Троттера ==

Опять получили $k$ различных перестановок=== Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, отличающихся в одной элементарной транспозицииесли по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Далее берем третью строку из кода Грея Например, для перестановок длиной $n <tex> p = k - \{1$, записываем в ее начало 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент $k$ и двигаем его вправоменять местами с элементом, как для первой перестановки и ткоторый стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего.дИзначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.

Для каждой перестановки длиной $=== Пример работы алгоритма для n = k - 3 ===*<tex> p = \{1$ (всего их $(k - , 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k, \cdot(k - textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1)! , \textbf{2}\}\;\;\;d = k!$ перестановок. Все они различны\{\leftarrow, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $k$ стоит на разных позициях\leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3},а если $k$ стоит на одной и той же позиции2, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n 1\}\;\;\;d = k - 1$. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению\{\to, \leftarrow, от разных перестановок \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{---3}, 1\} имеют $k$ на одной и той же позиции\;\;\;d = \{\leftarrow, но отличаются в одной элементарной транспозиции\to, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n \leftarrow\}</tex>*<tex> p = k - \{2, 1$). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>

== Пример применения алгоритма =Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, ... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:== Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.

Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{2, 1\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}}перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

{1{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, 2когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.}}

Код Грея получен{{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}

Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement= Псевдокод получения следующего кода Грея Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n =1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }}

Пусть ===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам известен код Грея для длины $нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n </tex> - 1$подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, записанный в массив prev_perm[i]блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(jn), где $i$ </tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - номер перестановки, $j$ 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - номер элемента этой перестановки 1)! = O(номерация начинается с единицыn!)</tex>.

t := true; {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}==Сравнение с рекурсивным алгоритмом=== for i := 1 to Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента)! do {перебираем все перестановки из предыдущего кода Грея} begin insert(perm[i], t); {в зависимости от t вставляем элемент либо в началоа только текущую. Следовательно, либо в конец перестановки} writelnэтот алгоритм потребляет только <tex>O(perm[i]n); {выводим первую перестановку} for j := 1 to n </tex> памяти. Также, из- 1 do begin swap(perm[i], t); {в зависимости от t двигаем элемент влево или вправо} writeln(perm[i]); {выводим полученные перестановки} end; end;за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $<tex>f$ </tex> и $<tex>g$</tex>, соединены ребром, если $<tex>g$ </tex> образуется из $<tex>f$ </tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]