Изменения

|definition='''Коды Грея для перестановокЭлементарная транспозиция''' {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией(англ.<br> '''Элементарная транспозиция'Adjacent transposition'' ) {{---}} транспозиция перестановка местами двух соседних элементов.}} == Примеры кодов '''Коды Грея для перестановок == ''' (англ. ''Gray code for permutation'') {| border="1" cellpadding="3" | <tex>n = 2</tex> || <tex>\{1, 2\}</tex> || <tex>\{2, 1\}</tex> |- | <tex>n = 3</tex> || <tex>\{1, 2, 3\--}</tex> || <tex>\{1, 3, 2\}</tex> || <tex>\{3упорядочение перестановок, 1, 2\}</tex> || <tex>\{3, 2, 1\}</tex> || <tex>\{2, 3, 1\}</tex> || <tex>\{2, 1, 3\}</tex> |}при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея ]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>

Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).

Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку перестановку из кода Грея для перестановок длиной длины <tex>n = k - 1</tex>, которая будет выглядеть так и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (т.к. мы получилипоследние элементы совпадают, что элемент стоящий а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторымэлементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:

<tex>\{a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>

* <tex>\{a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \dots, \underline{a_b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \underline{\dots, k}, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_2b_1, a_1b_2, \underline{a_3b_3, k}, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_2b_1, \underline{a_1b_2, k}, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{a_2b_2, k}, a_1b_1, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>

Опять получили Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной <tex>n = k - 1</tex>один конец (поочерёдно), записываем в ее начало элемент <tex>k</tex> и с помощью элементарных транспозиций двигаем его вправов другой конец, как для первой перестановки и т.дпри этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.

Для Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>n = k - 1</tex> (всего их <tex>(k - 1)!</tex>штук) мы получили по <tex>k</tex> новых перестановок. Итого , в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, т.к. так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>n = k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению. Итого, от разных перестановок {{---}} имеют <tex>k</tex> на одной и той же позиции, но отличаются в одной элементарной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной <tex>n = k - 1</tex>). Таким образом мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, отличающихся причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной <tex>n</tex> получен.

== Пример применения алгоритма Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, 1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>|}

Рассмотрим код Грея '''Перестановки для длины n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>n |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>|style= "background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}

Тогда следуя алгоритму полученный Получаем код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>.

* '''list<texlist<int>\{\underline>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{3, 2}, 1\}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</texfont color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} берем первую перестановку и добавляем в начало тройкуперестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen>* '''bool''' backward = ''false'' <texfont color=darkgreen>\{2, \underline{3, 1}\} //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</texfont color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} двигаем до последней позициитекущая перестановка</font color=darkgreen>* '''if''' backward '''list<texint>\''' current = concat(perm, {\underlinen})<font color=darkgreen> //дописываем {2, 1}, 3\n}в конец perm</texfont color=darkgreen>* result.append(current)<texfont color=darkgreen>\{ //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], \underline{2, 3}\}current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</texfont color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> {{---}} берем следующую //добавляем в ответ перестановку и записываем тройку в конецcurrent</font color=darkgreen> '''else'''* '''list<texint>\''' current = concat({\underline{1, 3n}, 2\}perm) <font color=darkgreen> /tex> /дописываем {{---n}} двигаем в началоperm</font color=darkgreen>* result.append(current) <texfont color=darkgreen>\{3 //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1, 2\}]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</texfont color=darkgreen>

Код Грея получен== Реализация в нерекурсивном виде.Алгоритм Джонсона-Троттера ==

== Псевдокод получения Грея =Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.

Получаем код Грея рекурсивно=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, в базовом случае (\leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex>n p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>) возвращаем список из одной перестановки *<tex>p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>.

=== Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): if n = '''list<int>''' perm = {1:, ... , n} return '''list<char>''' dir = [{1←, ... , ←}] else: '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result .append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color= []darkgreen> perms '''int''' id = gray_code(n - 1) backward ; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color= falsedarkgreen> '''for perm in perms:''' i = 1 '''to''' n '''if backward: current ''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == concat-1) '''or''' (perm, {n}[i] > perm[id])) result.append id = i '''if''' (currentid == -1)'''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for (''' i = 1 '''to''' n; '''if''' (perm[i ] > 1; perm[id]) reverse(dir[i--]):<font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(currentid) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[i - 1id], currentdir[iid])c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result</code> === Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.append Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(currentкомпонента). else:*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>. {{Утверждение|id=approval1 current |statement= concat(Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}, perm)</tex>.}}   {{Лемма result.append(current)|id=lemma1 for (|statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i = + 1; ] ... P[i + n]< /tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n; \} = P[i+2]\backslash\{n\} = ... = P[i +n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки):, нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}} Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов. swap|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (currentподряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i], current\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }} ===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.  result===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента), а только текущую.appendСледовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>O(currentn)</tex> памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее. backward ===Интересный факт=== !backward return resultСуществует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета.

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]