Изменения

{{Определение| widthdefinition ='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок == Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов). * <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex> Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид: <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "150двигать" alignего влево: * <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список. Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции. =="right" cellpaddingПримеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="5background-color:#CCC;margin:0.5px" border!style="1background-color:#EEE" | Номер!style="borderbackground-collapsecolor: collapse;#EEE"| Перестановка

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 21</spantex> 1 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2 , 1\} </tex>

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 32</spantex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1 , 2 3\} </tex>|}  2 1 '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов) 2 3 1{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px" 3 2 1!style="background-color:#EEE"| Номер 3 1 2!style="background-color:#EEE"| Перестановка 1 3 2!style="background-color:#EEE"| Пояснение

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 41</spantex> 1 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3 4 , 2 }, 1 3 4 \} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|- |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2 3 1 4 </tex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2 , \underline{3 4 , 1 }\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3 2 4 1 </tex> 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2 , 1 4 }, 3 1 2 4 \}</tex> 1 3 2 4 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| 1 3 4 2 |- 3 1 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4 2 </tex> 3 4 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1 , \underline{2 , 3 4 2 1 }\}</tex> 4 3 2 1 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец 4 3 1 2 |- 4 1 3 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1 4 , 3 }, 2 \} </tex> 1 4 2 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало 4 1 2 3 |- 4 2 1 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex> 4 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3 , 1 , 2 4 3 1 \} </tex> 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

== Псевдокод получения кода Грея == Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>.  '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for'''i = 1 'Коды Грея ''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen> == Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера == === Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>. === Пример работы алгоритма для перестановокn = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex> === Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, ... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code> === Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.  Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>. {{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.}}   {{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}} Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - называют такое упорядочение 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановокна блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }} ===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>. ===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что соседние нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента), а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее. ===Интересный факт===Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются только элементарной не более, чем на единицу.Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета. == Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам == Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозициейсоседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе. == См.также ==* [[Комбинаторные объекты]]* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Источники информации ==* Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

== '''Построения Кода Грея для перестановок на Pascal''' == for i := 1 to n do begin P[i] := i; C[i] := 1; PR[i] := true; end; C[n] := 0; for g := 1 to n do write(P[g], ' '); writeln; i := 1; while i < n do begin i := 1; x := 0; while C[i] = n - i + 1 do begin PR[i] := not PR[i]; C[i] := 1; if PR[i] then x := x + 1; i := i + 1; end; if i < n then begin if PR[i] then k := C[i] + x else k := n - i + 1 - C[i] + x; swap(P[k], P[k + 1]); for g Категория:= 1 to n do write(P[g], ' '); writeln; C[iКомбинаторика ] := C[i] + 1 end; end;