Изменения

{{Определение| widthdefinition ='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок == Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов). * <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex> Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид: <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево: * <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список. Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции. == Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, 1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>|} '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"150| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px" align| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="rightbackground-color:#FFF;padding:2px 30px" cellpadding| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="5background-color:#FFF;padding:2px 30px" border| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px" | двигаем до последней позиции |-|style="borderbackground-collapsecolor: collapse#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 24</spantex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1 , \underline{2, 3}\}</tex> 2 1|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 35</spantex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1 2 , 3 }, 2 1 3\} </tex> 2 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 46</spantex> 1 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3 4 2 , 1 3 4 , 2 3 1 4 \} </tex> 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

== Псевдокод получения кода Грея == Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>.  '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false''<font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> 'Коды Грея ''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen> == Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера == === Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>. === Пример работы алгоритма для перестановокn = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex> === Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, ... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - называют такое упорядочение перестановокподвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code> === Доказательство корректности ===Очевидно, что соседние требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

'''Элементарной транспозицией''' называют транспозиция двух соседних элементов, то есть обмен местами двух соседних элементовБудем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

{{Утверждение|id=approval1|statement= '''Построения Кода Грея для перестановок''' ==Строим из рекурсивных соображений. При фиксированной перестановки из <tex>k - 1</tex> элемента можно перебрать все Число <tex>kn</tex> вариантов добавления к этой в перестановке элемента не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>k\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex>, и этот перебор можно осуществить передвигая элемент или последняя компонента есть <tex>k\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> каждый раз на соседнее место, Например.}}

Действовать будем так{{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... Каждые P[i + n]</tex>. Причём, <tex>k - P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex> итерации будем давать команду на сдвиг .|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>ka \neq n</tex>-го элемента, а затем менять направление движения то после транспозиции его на противоположное и будем давать команду на сдвиг элемента с меньшим номером; для этих выделенных итераций соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно делать то же самое: на будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>k - 2n</tex> больше любого элемента из них двигать перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>(k - 1)\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>-й элементна первой позиции, а либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>(k - 1)n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>-й итерации сменить ему направление движения, и тто <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ...д= P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}

ПостроениеТеперь докажем основную лемму. Кроме рабочей {{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>rn - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и её номера в факториальной системе для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>tn</tex> (младший разряд - последнийподряд) потребуется иметь массив . В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>dP[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, задающий текущее направления движения всех элементовесли <tex>i\; - </tex> начало группы. Удобно еще иметь массивЗначит, сопоставляющий каждому элементу в каждой группе какая-то перестановка из <tex>in - 1</tex> то место элемента дополняется до перестановки из <tex>p_in</tex>всеми возможными способами. Теперь докажем, что на котором переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>in</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> стоит в перестановке элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>rn</tex>элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }}

''Начальное состояние===Асимптотика===Поговорим об асиптотике.''Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> r = (1, 2, элементов.Немного модифицируем алгоритм.Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз., k); В остальных случаях этим элементом будет </tex>n</tex> p = . Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(1в остальных случаях менять направления не нужно, 2так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов)...Следовательно, kблок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n); </tex>. Всего блоков <tex> t = -\:(0, 0, ..., 0n - 1); !</tex>. Общая асимптотика <tex> d = O(n) \cdot (n -1, -1, ..., -1); ! = O(n!)</tex>.

''Стандартный шаг.'' Увеличить вектор <tex>t</tex> на 1. При этом несколько младших разрядов получат нулевые значения===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, а в одном что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из разрядов, <tex>j</tex>n -м, значение увеличится на 1 (при <tex>j = 1</tex> процесс заканчиваетсяэлемента), а только текущую. Сменить направление движения всех элементов младше <tex>j</tex>-гоСледовательно, т.е. положить <tex>d_i</tex> для <tex>i > j этот алгоритм потребляет только </tex>. Поменять местами <tex>j</tex>-й элемент и соседний и соседний с ним O(если <tex>d_j = -1</tex> - левый, иначе - правыйn). [[Файл:123.png]]Элемент <tex>j</tex> стоит на месте <tex>s = p_i</tex>памяти. Это значитТакже, что <tex>r_s = j</tex>. Соседнее место из- это <tex>s' = p_i + d_j</tex>. На нем стоит какой-то элемент <tex>j' = r_s' </tex>. Поменять местами в перестановке элементы <tex>j</tex> и <tex>j'</tex> означает поменять местами содержимое <tex>p_i</tex> и <tex>p_j'</tex>, a также <tex>r_s</tex> и <tex>r_s'</tex>за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

== '''=Интересный факт===Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета. == Сведение задачи построение построения кода Грея для перестановок к графам''' == Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вешины вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Источники информации ==* Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]