Изменения

{{Определение| widthdefinition ='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок == Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов). * <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex> Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид: <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево: * <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список. Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции. == Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, 1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>|} '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"150| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px" align| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="rightbackground-color:#FFF;padding:2px 30px" cellpadding| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="5background-color:#FFF;padding:2px 30px" border| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px" | двигаем до последней позиции |-|style="borderbackground-collapsecolor: collapse#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 24</spantex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1 , \underline{2, 3}\}</tex> 2 1|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 35</spantex> |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1 2 , 3 }, 2 1 3\} </tex> 2 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало

| <span style="fontbackground-sizecolor:smaller#FFF;padding:2px 30px"| <tex>код Грея для перестановки при n = 46</spantex> 1 2 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3 4 2 , 1 3 4 , 2 3 1 4 \} </tex> 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 3 |style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

== Псевдокод получения кода Грея == Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>.  '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if'''n == 1 ''Коды Грея для перестановок'return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - называют такое упорядочение перестановок1 swap(current[i], что соседние current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen> == Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера == === Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки отличаются только элементарной транспозицией<tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>. === Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>

=== Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''Элементарной транспозициейlist<list<int>>''' называют транспозиция двух соседних элементовgray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, то есть обмен местами двух соседних элементов... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

== '''Построения Кода Грея для перестановок''' = Доказательство корректности ===Строим Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из рекурсивных соображенийсамого алгоритма. При фиксированной Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки из <tex>k - 1</tex> элемента можно перебрать все <tex>k</tex> вариантов добавления к этой перестановке элемента <tex>k</tex>, и этот перебор можно осуществить передвигая элемент <tex>k</tex> каждый раз на соседнее место, Например.

365214'''7''' Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex> 36521'''7'''4 P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex> 3652'''7'''14 P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex> 365'''7'''214 и т. д.

На фоне перебора позиций {{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>kn</tex>-го элемента должны проводиться переборы перестановок меньшего порядкав перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, к которым применяется тот же принцип, т.е., например в нашем случае после получения набора 7365214 требуется сдвинуть влево когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или вправо элемент 6последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.}}

''Начальное состояние.''{{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex> r = (P[i + 1, 2, ] ..., k); P[i + n]</tex>. Причём, <tex> p P[i + 1]\backslash\{n\} = (1, P[i + 2, ]\backslash\{n\} = ..., k); = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex> t = a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(0по направлению стрелки), 0нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится.По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции.В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках., 0); Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex> d P[i + 1]\backslash\{n\} = (P[i + 2, 2, ]\backslash\{n\} = ..., 2); = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}

''Стандартный шагТеперь докажем основную лемму.'' Увеличить вектор {{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>tn</tex> на элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. При этом несколько младших разрядов получат нулевые значенияПредположим, а в одном из разрядовчто для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>jn</tex>-м, значение увеличится элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на 1 блоки по <tex>n</tex> (при подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>j P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> процесс заканчивается)начало группы. Сменить направление движения всех элементов младше Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>jn</tex>-говсеми возможными способами. Теперь докажем, тчто на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет.еЗаметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. положить В силу нашего утверждения <tex>d_in</tex> для стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex>i больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex> j n</tex>. Поменять местами В силу этих фактов <tex>jn</tex>-й элемент никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и соседний и соседний с ним (если перестановки из <tex>d_j = 2n - 1</tex> - левыйэлемента, иначе - правый)а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами. {| class = "standard" border = "1"Корректность алгоритма доказана. !i}}|t|d|p|r|j|Комментарии|-!1|0000|2222|1234|1234| -|Здесь J не определено|-!2|0001|2222|1243|1243|4===Асимптотика===|Начинается движение элПоговорим об асиптотике. 4}Элемент Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>jn</tex> стоит на месте элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>s = p_in</tex>. Это значитСледовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, что так как <tex>r_s = jn</tex>- подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Соседнее место - это Следовательно, блок выполняется за <tex>s' O(n) + O(n) + O(n) = p_i + d_jO(n)</tex>. На нем стоит какойВсего блоков <tex> -\:(n -то элемент 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>j' O(n) \cdot (n - 1)! = r_s' O(n!)</tex>. Поменять местами в перестановке элементы  ===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>jn - 1</tex> и элемента), а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>j'O(n)</tex> означает поменять местами содержимое памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее. ===Интересный факт===Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>p_iu</tex> и число различных перестановок <tex>p_j'v</tex>, a также которые могут стоять после <tex>r_su</tex> и , равно <tex>r_s'n + 1</tex>числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета. == Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==

== '''Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам''' ==Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вешины вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Источники информации ==* Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]