Изменения

{{Определение| width="150" aligndefinition ="right" cellpadding="5" border="1" style="border-collapse: collapse;"|'''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{-| <span style="font-size:smaller;">код Грея для перестановки при n = 2</span> 1 2 2 1|-| <span style="font-size:smaller;">код Грея для перестановки при n = 3</span>}} перестановка местами двух соседних элементов. 1 2 3}} 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2|-| <span style="font-size:smaller;">код '''Коды Грея для перестановки при n = 4</span> 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 4 1 3 4 2 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 4 2 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 2 1 4 3 1 2 4 3 |}== перестановок'''(англ. 'Определение'Gray code for permutation'' ) {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок ==

'''Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок''' длиной <tex>k - называют такое упорядочение перестановок1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.a_{k-1}\}</tex>

'''Элементарной транспозицией''' называют транспозиция двух соседних элементовСначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, то есть обмен местами двух соседних после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).

== '''Построения Кода Грея для перестановок''' ==* <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>Строим из рекурсивных соображений. При фиксированной перестановки из * <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k - 1}\}</tex> элемента можно перебрать все * <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex> вариантов добавления к этой перестановке элемента * <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, и этот перебор можно осуществить передвигая элемент a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex> каждый раз на соседнее место, Например

365214'''7''' -Получим <tex>k</tex> 36521'''7'''4 -различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex> 3652'''7'''14 k -1</tex> 365'''7'''214 и тприпишем в конце число <tex>k</tex>. дЭта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию).Пусть она имеет следующий вид:

На фоне перебора позиций <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>-го элемента должны проводиться переборы перестановок меньшего порядка, к которым применяется тот же принцип, т.е., например в нашем случае после получения набора 7365214 требуется сдвинуть влево или вправо элемент 6.

Действовать будем так. Каждые Элемент <tex>k - 1</tex> итерации будем давать команду на сдвиг <tex>k</tex>-го элемента, а затем менять направление движения записываем в конец и начинаем "двигать" его на противоположное и будем давать команду на сдвиг элемента с меньшим номером; для этих выделенных итераций нужно делать то же самоевлево: на <tex>k - 2</tex> из них двигать <tex>(k - 1)</tex>-й элемент, а на <tex>(k - 1)</tex>-й итерации сменить ему направление движения, и т.д.

Построение. Кроме рабочей перестановки * <tex>r\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex> и её номера в факториальной системе * <tex>t\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex> (младший разряд - последний) потребуется иметь массив * <tex>d</tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, задающий текущее направления движения всех элементов. Удобно еще иметь массив\dots, сопоставляющий каждому элементу <tex>ib_{k-1}\}</tex> то место * <tex>p_i\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>, на котором стоит * <tex>i\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex> стоит в перестановке * <tex>r\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>.

''Начальное состояниеПродолжаем аналогично.'' <br>Для каждой перестановки дописываем <tex> r = (1, 2, ..., k); </tex><br><tex> p = в один конец (1, 2, ..., kпоочерёдно); </tex><br><tex> t = (0, 0и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список..., 0); </tex><br><tex> d = (-1, -1, ..., -1); </tex><br>

''Стандартный шаг.'' Увеличить вектор Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>tk - 1</tex> на (всего <tex>(k - 1. При этом несколько младших разрядов получат нулевые значения, а в одном из разрядов, )!</tex> штук) по <tex>jk</tex>-мновых перестановок, значение увеличится на 1 (при в сумме <tex>j k\cdot(k - 1)! = 1k!</tex> процесс заканчивается)перестановок. Сменить направление движения всех элементов младше Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>jk</tex>-гостоит на разных позициях, т.е. положить а если <tex>d_ik</tex> для стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>i > j k - 1</tex>. Поменять местами Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>jk!</tex>-й элемент и соседний и соседний с ним (если различных перестановок длиной <tex>d_j = -1k</tex> - левый, иначе - правый)причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.<br>

== Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{|class style= "standardbackground-color:#CCC;margin:0.5px" border !style= "1background-color:#EEE"| Номер!<tex> i </tex> |<tex> t </tex> |<tex> d </tex>|<tex> p </tex> |<tex> r </tex> |<tex> j </tex> style="background-color:#EEE"|Комментарии Перестановка

 !1 |0000 | style="background---- color:#FFF;padding:2px 30px"|1234 |1234 <tex>1</tex>| style="background- color:#FFF;padding:2px 30px"|Здесь <tex> j \{2, 1\} </tex> не определено

!2 '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){|0001 style="background-color:#CCC;margin:0.5px"| ---!style="background- color:#EEE"|1243 Номер!style="background-color:#EEE"|1243 | 4 Перестановка!style="background-color:#EEE"|Начинается движение эл. 4 Пояснение

 !3 |0002 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>| style="background---- color:#FFF;padding:2px 30px"|1342 <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|1423 | 4 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку

 !4 |0003 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>| style="background---- color:#FFF;padding:2px 30px"|2341 <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|4123 | 4 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции

 !5 |0010 | style="background---+ color:#FFF;padding:2px 30px"|2431 <tex>3</tex>|4132 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3 \}</tex>|Шаг эл. 3, у 4 смена направленияstyle="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|

 !6 |0011 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>| style="background---+ color:#FFF;padding:2px 30px"|1432 <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|1432 | 4 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец

 !7 |0012 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>| style="background---+ color:#FFF;padding:2px 30px"|1423 <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>|1342 | 4 style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало

!9|0020| ----|2314|3124|3|Второй шаг элПолучаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>. 3|-

!10 '''list<list<int>>''' gray_code(n):|0021 '''if''' n == 1| '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n -1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen>|2413 '''if''' backward|3142 '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen>|4 result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>| '''for''' i = n '''downto''' 2| swap(current[i -1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>

!11|0022| ----|3412|3412|4||== Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера ==

!12=== Идея ===|0023| ----|3421|4312|Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4| |-, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.

!13=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===|0100*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>| --++*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>|4321*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>|4321*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>|*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>|Шаг эл. *<tex> p = \{2. Смена направлений у эл. , 1, 3 и эл. 4.|- !14|0101| --++|4312|3421|4||-\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>

!15=== Псевдокод ===|0102<code>| <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, ... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -++1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i|4213 '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen>|3241 '''for''' i = 1 '''to''' n|4 '''if''' (perm[i] > perm[id]) | reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> |- swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>

!17Будем использовать обозначения:|0110*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).| *<tex>P[i]</tex> {{--+-}} перестановка с номером <tex>i</tex>.|3124|2314|3||*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.

!18{{Утверждение|0111id=approval1| --+-statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.|4123|2341|4||-}}

!21{{Лемма|0120id=lemma1 | --statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i +1] ... P[i +n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|3241proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|4213|3||-}}

!22Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|0121statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.| proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; -</tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n -1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i +1]\backslash\{n\} = ... = P[i +n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.|3124Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.|2413Корректность алгоритма доказана. |4||-}}

!23|0122===Асимптотика===| -Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> -подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) +O(n) +|2143|2143|4||O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n -1)! = O(n!)</tex>.

!24===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===|0123| Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n -++|2134 |2134|4||1</tex> элемента), а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

!25===Интересный факт===|1000| Существует более общая формулировке задачи {{-+--}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.| -| -|Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи. |Остановка процесса|}Этот факт был открыт студентом нашего университета.

<br>Элемент <tex>j</tex> стоит на месте <tex>s = p_i</tex>. Это значит, что <tex>r_s = j</tex>. Соседнее место - это <tex>s' Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам = p_i + d_j</tex>. На нем стоит какой-то элемент <tex>j' = r_s' </tex>. Поменять местами в перестановке элементы <tex>j</tex> и <tex>j'</tex> означает поменять местами содержимое <tex>p_i</tex> и <tex>p_j'</tex>, a также <tex>r_s</tex> и <tex>r_s'</tex>.

== '''Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам''' ==Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вешины вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]