Коды Грея для перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 12: Строка 12:
  
 
{| border="1"
 
{| border="1"
  |    n=2    ||    n=3     
+
  |    n = 2    ||    n = 3     
 
  |-
 
  |-
 
  |  {1, 2}  || {1, 2, 3}
 
  |  {1, 2}  || {1, 2, 3}
Строка 29: Строка 29:
 
== Построение кода Грея для перестановок ==
 
== Построение кода Грея для перестановок ==
  
Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n - 1$.
+
Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:
Для $n = 1$ код Грея выглядит так:
 
 
 
<font size = '2'>{ 1 }</font>
 
 
 
Будем строить код Грея для перестановок длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:
 
  
 
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k-1</sub>} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ {{---}} элементы перестановки.
 
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k-1</sub>} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ {{---}} элементы перестановки.
Строка 43: Строка 38:
  
 
Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ вправо, меняя его с соседним(жирным выделены элементы, которые поменялись):
 
Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ вправо, меняя его с соседним(жирным выделены элементы, которые поменялись):
 +
*{a<sub>k</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>} (1)
  
{a<sub>k</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>} (1)
+
*{'''a<sub>1</sub>''', '''a<sub>k</sub>''', a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>} (2)
  
{'''a<sub>1</sub>''', '''a<sub>k</sub>''', a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>} (2)
+
*{a<sub>1</sub>, '''a<sub>2</sub>''', '''a<sub>k</sub>''', a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
  
{a<sub>1</sub>, '''a<sub>2</sub>''', '''a<sub>k</sub>''', a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
*{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, '''a<sub>3</sub>''', '''a<sub>k</sub>''', ..., a<sub>k - 1</sub>}
  
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, '''a<sub>3</sub>''', '''a<sub>k</sub>''', ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
*$..........................$
  
$..........................$
+
*{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., '''a<sub>k</sub>''', a<sub>k - 1</sub>}
  
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., '''a<sub>k</sub>''', a<sub>k - 1</sub>}
+
*{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., '''a<sub>k - 1</sub>''', '''a<sub>k</sub>'''} (3)
 
 
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., '''a<sub>k - 1</sub>''', '''a<sub>k</sub>'''} (3)
 
  
 
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
 
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
Строка 64: Строка 58:
 
Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:
 
Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:
  
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>, a<sub>k</sub>} (4)
+
*{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>, a<sub>k</sub>} (4)
 
+
*{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., '''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>k - 1</sub>'''}
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., '''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>k - 1</sub>'''}
+
*..........................
 
+
*{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, '''a<sub>k</sub>''', ..., a<sub>k - 1</sub>}
..........................
+
*{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, '''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>3</sub>''', ..., a<sub>k - 1</sub>}
 
+
*{a<sub>2</sub>, '''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>1</sub>''', a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, '''a<sub>k</sub>''', ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
*{'''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>2</sub>''', a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
 
 
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, '''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>3</sub>''', ..., a<sub>k - 1</sub>}
 
 
 
{a<sub>2</sub>, '''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>1</sub>''', a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
 
 
 
{'''a<sub>k</sub>''', '''a<sub>2</sub>''', a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
 
  
 
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
 
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
Строка 90: Строка 78:
 
{1, 2}
 
{1, 2}
  
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так(жирным выделены элементы, которые поменялись):
+
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (жирным выделены элементы, которые поменялись):
  
 
* {3, 2, 1}  берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
 
* {3, 2, 1}  берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
Строка 103: Строка 91:
 
== Псевдокод получения следующего кода Грея ==
 
== Псевдокод получения следующего кода Грея ==
  
Пусть нам известен код Грея для длины $n-1$, записанный в массив pred_perest[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).
+
Пусть нам известен код Грея для длины $n - 1$, записанный в массив pred_perest[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).
  
 
   t := false;  {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}
 
   t := false;  {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}

Версия 03:58, 13 декабря 2011

<wikitex>

Определения

Определение:
Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.
Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.


Примеры кодов Грея для перестановок

n = 2 n = 3
{1, 2} {1, 2, 3}
{2, 1} {1, 3, 2}
{3, 1, 2}
{3, 2, 1}
{2, 3, 1}
{2, 1, 3}

Построение кода Грея для перестановок

Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:

{a1, a2, a3, ..., ak-1} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ — элементы перестановки.

Элемент $a_{k}$ запишем в начало этой перестановки:

{ak, a1, a2, a3, ..., ak - 1}

Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ вправо, меняя его с соседним(жирным выделены элементы, которые поменялись):

  • {ak, a1, a2, a3, ..., ak - 1} (1)
  • {a1, ak, a2, a3, ..., ak - 1} (2)
  • {a1, a2, ak, a3, ..., ak - 1}
  • {a1, a2, a3, ak, ..., ak - 1}
  • $..........................$
  • {a1, a2, a3, ..., ak, ak - 1}
  • {a1, a2, a3, ..., ak - 1, ak} (3)

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):

{a2, a1, a3, ..., ak - 1}

Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:

  • {a2, a1, a3, ..., ak - 1, ak} (4)
  • {a2, a1, a3, ..., ak, ak - 1}
  • ..........................
  • {a2, a1, a3, ak, ..., ak - 1}
  • {a2, a1, ak, a3, ..., ak - 1}
  • {a2, ak, a1, a3, ..., ak - 1}
  • {ak, a2, a1, a3, ..., ak - 1}

Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.

Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.

Пример применения алгоритма

Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:

{2, 1}

{1, 2}

Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (жирным выделены элементы, которые поменялись):

  • {3, 2, 1} берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
  • {2, 3, 1} двигаем до последней позиции
  • {2, 1, 3}
  • {1, 2, 3} берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
  • {1, 3, 2} двигаем в начало
  • {3, 1, 2}

Код Грея получен.

Псевдокод получения следующего кода Грея

Пусть нам известен код Грея для длины $n - 1$, записанный в массив pred_perest[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).

 t := false;  {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}
 for i := 1 to (n - 1)! do  {перебираем все прошлые перестановки}
   if t = true then
     begin
     vstavka(pred_perest[i], t);  {вставляем в конец, если t = true}
     writeln(pred_perest[i]);
     for j := 1 to n - 1 do  {для каждой перестановки делаем n - 1 транспозиций} 
       begin
       swap(pred_perest[i](j), pred_perest[i](j + 1));  {меняем j и j + 1 элементы местами}
       t := false;
       writeln(pred_perest[i]);
       end;
     end
   else
     begin
     vstavka(pred_perest[i], t);  {вставляем в начало, если t = false}
     writeln(pred_perest[i]);
     for j := n - 1 downto 1 do
       begin
       swap(pred_perest[i](j), pred_perest[i](j + 1));  {меняем j и j + 1 элементы местами}
       t := true;
       writeln(pred_perest[i]);
       end;
     end;

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

Литература

Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41