Изменения

== Коды Алгоритм построения кодов Прюфера. ==Кодирование Прюфера переводит [[Количество помеченных деревьев#Помеченное дерево|помеченные деревья порядка <tex>n</tex> ]] в последовательность чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> по алгоритму:<br> Пока количество вершин больше двух:# Выбирается лист <tex>>1v</tex> { 1. Выбирается лист с минимальным номером. 2. # В последовательность код Прюфера добавляется номер вершины, смежной вершиныс <tex>v</tex>. 3. Лист # Вершина <tex>v</tex> и инцидентное ей ребро удаляются из дерева. }<br>Полученная последовательность и есть называется '''код кодом Прюфера'''''(англ. Prüfer code)'' для заданного дерева.

Номера всех вершин, которые не являются листьями или с номером Номер вершины <tex>nv</tex>, встречаются встречается в коде Прюфера. А тетогда и только тогда, которые когда <tex>v</tex> не входят является листом, причём встречается этот номер к коде дерева в точности <math>\deg v - являются листьями1</math> раз.

1. # Вершина с номером <tex>n</tex> не удаляется, так как у неё максимальный номер (в графе с <tex>>1</tex> вершиной - <tex>\leq 2<tex> листа), а, значитможет быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина. , и число <tex>Rightarrown</tex> n - как минимум один раз встретилось в коде. 2. # Если вершина, не листявляется листом, то у неё на каком-то некотором шаге была смежная вершина - лист. А, значит, номер этой вершины был <tex>>1-</tex> выписан лист, следовательно номер этой вершины встречается в кодкоде. 3. Так как # Если вершина - лист(является листом с номером не равным меньше <tex>n</tex>), то она была только удаленадо того, как был удален её сосед, следовательно её номер не встречается в коде.

АТаким образом, значит, все вершиныномера всех вершин, не являющиеся являющихся листьями "входят" или имеющих номер <tex>n</tex>, встречаются в код коде Прюфера, а остальные <tex>-</tex> нет.

По любой последовательности длиной длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> можно построить помеченное дерево,для которого эта последовательность является кодом Прюфера.

Доказательство проведем по индукции.по числу <tex>n</tex><br><u>''База. индукции:''</u> <tex>n = 1</tex> <tex> - </tex> верно. <u>''Индукционный переход:''<br/u>Переход Пусть для числа <tex>n \rightarrow </tex> верно, построим доказательство для <tex>n + 1</tex>.:<br>

Выберем минимальное число <tex>v</tex> не лежащее в <tex>A</tex>. Это означает, что По предыдущей лемме <tex>v</tex> <tex> - </tex> вершина, которую мы удалили первой(). А, значит, это лист. Соединяем Соединим <tex>v</tex> и <tex>a_1</tex> ребром. Выкинем из последовательности <tex>A</tex> - число <tex>a_1</tex>. Далее будем перенумеровывать Перенумеруем вершины, то есть - для всех <tex>\forall i : a_i > v</tex> выполняем заменим <tex>a_i = </tex> на <tex>a_i - 1</tex>. А теперь мы можем применить предположение индукции.

Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка <math>n</math> и последовательностями длиной <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>

1. # Каждому помеченному дереву соотвествует приведенный алгоритм сопоставляет последовательность и только одна. Это верно по построению кода.2. # Каждой последовательности , как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево и только одно. Это верно по предыдущей лемме, т.к. восстанавливали мы однозначно.<br>Значит, это биекция - по определению.