Изменения
→Псевдокод
{{Определение
|definition=
'''Код антигрея ''' (англ. ''Anti-Gray Code)''' ) {{---}} такое упорядочивание <tex>k</tex>-ичных векторов, что [[расстояние Хэмминга]] между двумя соседними векторами максимально.
}}
== Двоичный код антигрея ==
{{Определение
|definition=
'''Двоичный код антигрея''' (англ. ''Binary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание двоичных векторов длины <tex>n</tex>, что соседние отличаются не менее, чем в <tex>n-1</tex> битах.
}}
Заметим: упорядочивание векторов такое, что соседние отличаются во всех битах, возможно только для <tex>n = 1</tex>. Это объясняется тем, что для двоичного вектора существует ровно один вектор, отличающийся во всех битах, а в последовательности, где <tex>n > 1</tex>, таких векторов должно быть два.
=== Пример ===
{| class="wikitable"
! n = 1 || n = 2 || n = 3
|-
| 0 || 00 || 000
|-
| 1 || 11 || 111
|-
| || 01 || 001
|-
| || 10 || 110
|-
| || || 011
|-
| || || 100
|-
| || || 010
|-
| || || 101
|}
=== Алгоритм генерации ===
Возьмем двоичный зеркальный [[Коды Грея | код Грея]] размером <tex>n</tex>. Тогда для первых <tex>2^{n-1}</tex> двоичных векторов будем:
# Печатать двоичный вектор
# Печатать его инверсию
Утверждается, что с помощью данного алгоритма мы напечатаем двоичный код антигрея.
=== Псевдокод ===
'''function''' genBinAntiGray(n: '''int'''):
'''for''' i = 1 '''to''' 2 ** (n - 1)
v = getMirrorGray(i, n)
print(v)
inverseBits(v)
print(v)
=== Доказательство корректности алгоритма ===
Обозначим за <tex>G_i</tex> — <tex>i</tex>-ый вектор в зеркальном коде Грея, <tex>\overline G_i</tex> — его инверсию.
Тогда вектора будут располагаться в таком порядке:
:<tex>\dots</tex> <br>
:<tex>G_i</tex> <br>
:<tex>\overline G_i</tex> <br>
:<tex>G_{i+1}</tex> <br>
:<tex>\overline G_{i+1}</tex> <br>
:<tex>G_{i+2}</tex> <br>
:<tex>\dots</tex>
<tex>G_i</tex> и <tex>\overline G_i</tex> отличаются во всех битах. <br>
Если <tex>G_i</tex> и <tex>G_{i+1}</tex> отличаются в <tex>k</tex>-ом бите, то инверсия <tex>G_i</tex> совпадает с <tex>G_{i+1}</tex> только в <tex>k</tex>-ом бите. То есть <tex>\overline G_i</tex> и <tex>G_{i+1}</tex> отличаются во всех позициях, кроме <tex>k</tex>-ой.
== Троичный код антигрея ==
{{Определение
|definition=
'''Троичный код антигрея''' (англ. ''Ternary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание троичных векторомвекторов, что соседние отличаются во всех разрядах.
}}
В отличие от двоичного кода антигрея, здесь мы не сталкиваемся с проблемой однозначности "соседа" и можем привести такой код, соседние элементы которого будут отличаться во всех разрядах.
=== Алгоритм генерации ===
Упорядочим все троичные вектора лексикографически. Тогда для первых <tex>3^{n-1}</tex> векторов будем выводить сначала сам этот вектор, потом <tex>2</tex> его поразрядных циклических сдвига (каждый отдельный бит увеличиваем на <tex>1</tex>).
<br>Например, если мы имеем вектор <tex>021</tex>, то вы выведем: <tex>021</tex>, <tex>102</tex>, <tex>210</tex>.
Утверждается, что выполняя эти действия мы получим троичный код антигрея.
=== Псевдокод ===
<code>
'''function''' genTernAntiGray(n: '''int'''):
'''for''' v = <000..0> '''to''' <022..2> <span style="color:Green">// троичные вектора длины <tex>n</tex> </span>
'''for''' i = 0 '''to''' 2
print(v)
digitCircleShift(v)
</code>
Заметим, что данный алгоритм можно обобщить на случай <tex>k</tex>-ичного кода антигрея.
=== Примеры работы алгоритма ===
{| class="wikitable"
!colspan="2" align="center"| n = 1
!colspan="2" align="center"| n = 2
!colspan="3" align="center"| n = 3
|-
!align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов
!align="center"|Коды антигрея
!align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов
!align="center"|Коды антигрея
!align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов
!colspan="2" align="center"|Коды антигрея
|-
| '''0''' || '''0''' || '''00''' || '''00''' || '''000''' || '''000''' || 200
|-
| || 1 || '''01''' || 11 || '''001''' || 111 || '''012'''
|-
| || 2 || '''02''' || 22 || '''002''' || 222 || 120
|-
| || || || '''01''' || '''010''' || '''001''' || 201
|-
| || || || 12 || '''011''' || 112 || '''020'''
|-
| || || || 20 || '''012''' || 220 || 101
|-
| || || || '''02''' || '''020''' || '''002''' || 212
|-
| || || || 10 || '''021''' || 110 || '''021'''
|-
| || || || 21 || '''022''' || 221 || 102
|-
| || || || || || '''010''' || 210
|-
| || || || || || 121 || '''022'''
|-
| || || || || || 202 || 100
|-
| || || || || || '''011''' || 211
|-
| || || || || || 122 ||
|}
=== Доказательство корректности алгоритма ===
Обозначим <tex>i</tex>-ый троичный вектор как <tex>G_i^0</tex>, его первый и второй циклический сдвиги как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex> соответственно. Получаем вектора в следующем порядке:
:<tex>\dots</tex> <br>
:<tex>G_i^0</tex> <br>
:<tex>G_i^1</tex> <br>
:<tex>G_i^2</tex> <br>
:<tex>G_{i+1}^0</tex> <br>
:<tex>\dots</tex>
<tex >G_i^0</tex> и <tex>G_i^1</tex>, равно как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex>, отличаются во всех битах. <br>
Если говорить о векторах как о троичных числах, то <tex>G_{i+1}^0</tex> получено из <tex>G_i^0</tex> прибавлением единицы, это значит, что у <tex>G_{i+1}^0</tex> несколько разрядов справа на единицу больше (по модулю <tex>3</tex>), чем у <tex>G_i^0</tex> (по правилам сложения в столбик). С другой стороны <tex>G_{i}^2</tex> получено из <tex>G_{i}^0</tex> двумя циклическими сдвигами вперёд, что равносильно одному циклическому сдвигу назад. Таким образом, в числе <tex>G_{i+1}^0</tex> некоторые биты такие же, как в <tex>G_{i}^0</tex>, остальные на единицу больше; в числе <tex>G_{i}^2</tex> все биты на один меньше по сравнению с <tex>G_{i}^0</tex>, значит <tex>G_{i}^2</tex> и <tex>G_{i+1}^0</tex> различны во всех битах.
Подобные рассуждения можно провести для любого <tex>k</tex>-ичного кода антигрея, где <tex>k \geqslant 3</tex>.
== См. также ==
*[[Цепные коды]]
== Источники информации == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
