1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение |definition='''Код антигрея''' (англ. ''Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание <tex>k</tex>-ичных векторов, что [[расстояние Хэмминга]] между двумя соседними векторами максимально. }}Код антигрея может использоваться для обнаружения неисправностей в устройстве при переходе в соседнее состояние. Часто используется в приборах, устанавливающихся на улице. Такое кодирование позволяет вовремя выявить поломку или какое-то загрязнение и своевременно устранить неисправность. == Двоичный код антигрея =={{Определение|definition='''Двоичный код антигрея''' (англ. ''Binary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание двоичных векторов длины <tex>n</tex>, что соседние отличаются не менее, чем в <tex>n-1</tex> битах.}}Заметим: упорядочивание векторов такое, что соседние отличаются во всех битах, возможно только для <tex>n = 1</tex>. Это объясняется тем, что для двоичного вектора существует ровно один вектор, отличающийся во всех битах, а в последовательности, где <tex>n > 1</tex>, таких векторов должно быть два. === Пример === {| class="wikitable"! n = 1 || n = 2 || n = 3|-| 0 || 00 || 000|-| 1 || 11 || 111|-| || 01 || 001|-| || 10 || 110|-| || || 011|-| || || 100|-| || || 010|-| || || 101|} === Алгоритм генерации === Возьмем двоичный зеркальный [[Коды Грея | код Грея]] размером <tex>n</tex>. Тогда для первых <tex>2^{n-1}</tex> двоичных векторов будем: # Печатать двоичный вектор# Печатать его инверсию Утверждается, что с помощью данного алгоритма мы напечатаем двоичный код антигрея. === Псевдокод === '''function''' genBinAntiGray(n: '''int'''): '''for''' i = 1 '''to''' 2 ** (n - 1) v = getMirrorGray(i, n) print(v) inverseBits(v) print(v) === Доказательство корректности алгоритма === Обозначим за <tex>G_i</tex> — <tex>i</tex>-ый вектор в зеркальном коде Грея, <tex>\overline G_i</tex> — его инверсию. Тогда вектора будут располагаться в таком порядке::<tex>\dots</tex> <br>:<tex>G_i</tex> <br>:<tex>\overline G_i</tex> <br>:<tex>G_{i+1}</tex> <br>:<tex>\overline G_{i+1}</tex> <br>:<tex>G_{i+2}</tex> <br>:<tex>\dots</tex><tex>G_i</tex> и <tex>\overline G_i</tex> отличаются во всех битах. <br>Если <tex>G_i</tex> и <tex>G_{i+1}</tex> отличаются в <tex>k</tex>-ом бите, то инверсия <tex>G_i</tex> совпадает с <tex>G_{i+1}</tex> только в <tex>k</tex>-ом бите. То есть <tex>\overline G_i</tex> и <tex>G_{i+1}</tex> отличаются во всех позициях, кроме <tex>k</tex>-ой. == Троичный код антигрея =={{Определение|definition='''Троичный код антигрея''' (англ. ''Ternary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание троичных векторов, что соседние отличаются во всех разрядах.}}В отличие от двоичного кода антигрея, здесь мы не сталкиваемся с проблемой однозначности "соседа" и можем привести такой код, соседние элементы которого будут отличаться во всех разрядах. === Алгоритм генерации === Упорядочим все троичные вектора лексикографически. Тогда для первых <tex>3^{n-1}</tex> векторов будем выводить сначала сам этот вектор, потом <tex>2</tex> его поразрядных циклических сдвига (каждый отдельный бит увеличиваем на <tex>1</tex>). <br>Например, если мы имеем вектор <tex>021</tex>, то вы выведем: <tex>021</tex>, <tex>102</tex>, <tex>210</tex>. Утверждается, что выполняя эти действия мы получим троичный код антигрея. === Псевдокод ===<code> '''function''' genTernAntiGray(n: '''int'''): '''for''' v = <000..0> '''to''' <022..2> <span style="color:Green">// троичные вектора длины <tex>n</tex> </span> '''for''' i = 0 '''to''' 2 print(v) digitCircleShift(v)</code>Заметим, что данный алгоритм можно обобщить на случай <tex>k</tex>-ичного кода антигрея. === Примеры работы алгоритма === {| class="wikitable"!colspan="2" align="center"| n = 1 !colspan="2" align="center"| n = 2 !colspan="3" align="center"| n = 3|-!align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !align="center"|Коды антигрея !align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !align="center"|Коды антигрея !align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !colspan="2" align="center"|Коды антигрея|-| '''0''' || '''0''' || '''00''' || '''00''' || '''000''' || '''000''' || 200|-| || 1 || '''01''' || 11 || '''001''' || 111 || '''012'''|-| || 2 || '''02''' || 22 || '''002''' || 222 || 120|-| || || || '''01''' || '''010''' || '''001''' || 201|-| || || || 12 || '''011''' || 112 || '''020'''|-| || || || 20 || '''012''' || 220 || 101|-| || || || '''02''' || '''020''' || '''002''' || 212|-| || || || 10 || '''021''' || 110 || '''021'''|-| || || || 21 || '''022''' || 221 || 102|-| || || || || || '''010''' || 210|-| || || || || || 121 || '''022'''|-| || || || || || 202 || 100|-| || || || || || '''011''' || 211|-| || || || || || 122 || |} === Доказательство корректности алгоритма === Обозначим <tex>i</tex>-ый троичный вектор как <tex>G_i^0</tex>, его первый и второй циклический сдвиги как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex> соответственно. Получаем вектора в следующем порядке::<tex>\dots</tex> <br>:<tex>G_i^0</tex> <br>:<tex>G_i^1</tex> <br>:<tex>G_i^2</tex> <br>:<tex>G_{i+1}^0</tex> <br>:<tex>\dots</tex><tex >G_i^0</tex> и <tex>G_i^1</tex>, равно как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex>, отличаются во всех битах. <br>Если говорить о векторах как о троичных числах, то <tex>G_{i+1}^0</tex> получено из <tex>G_i^0</tex> прибавлением единицы, это значит, что у <tex>G_{i+1}^0</tex> несколько разрядов справа на единицу больше (по модулю <tex>3</tex>), чем у <tex>G_i^0</tex> (по правилам сложения в столбик). С другой стороны <tex>G_{i}^2</tex> получено из <tex>G_{i}^0</tex> двумя циклическими сдвигами вперёд, что равносильно одному циклическому сдвигу назад. Таким образом, в числе <tex>G_{i+1}^0</tex> некоторые биты такие же, как в <tex>G_{i}^0</tex>, остальные на единицу больше; в числе <tex>G_{i}^2</tex> все биты на один меньше по сравнению с <tex>G_{i}^0</tex>, значит <tex>G_{i}^2</tex> и <tex>G_{i+1}^0</tex> различны во всех битах.Подобные рассуждения можно провести для любого <tex>k</tex>-ичного кода антигрея, где <tex>k \geqslant 3</tex>. == См. также == *[[Коды Грея]]*[[Коды Грея для перестановок]]*[[Цепные коды]] == Источники информации == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика]]
