Изменения

'''Код антигрея ''' (англ. ''Anti-Gray Code)''' ) {{---}} такое упорядочивание <tex>k</tex>-ичных векторов, что [[расстояние Хэмминга]] между двумя соседними векторами максимально.

'''Двоичный код антигрея''' (англ. ''Binary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание двоичных векторов длины <tex>n</tex>, что соседние отличаются не менее, чем в <tex>n-1</tex> битах.

 Заметим: упорядочивание векторов такое, что соседние отличаются во всех битах, возможно только для <tex>n > 2= 1</tex> невозможно такое упорядочивание двоичных векторов, что соседние отличаются во всех битах. Объясняется это Это объясняется тем, что для двоичного вектора существует ровно один вектор, отличающийся во всех битах. А , а в последовательности их , где <tex>n > 1</tex>, таких векторов должно быть 2два.

  '''function''' genBinAntiGray(n: '''int'''): '''for ''' i = 1 '''to ''' 2^** (n-1)

'''Троичный код антигрея''' (англ. ''Ternary Anti-Gray Code'') {{---}} такое упорядочивание троичных векторомвекторов, что соседние отличаются во всех разрядах.

В отличие от двоичного кода антигреяУпорядочим все троичные вектора лексикографически. Тогда для первых <tex>3^{n-1}</tex> векторов будем выводить сначала сам этот вектор, потом <tex>2</tex> его поразрядных циклических сдвига (каждый отдельный бит увеличиваем на <tex>1</tex>). <br>Например, если мы имеем вектор <tex>021</tex>, то вы выведем: <tex>021</tex>, <tex>102</tex>, <tex>210</tex>.  Утверждается, здесь что выполняя эти действия мы не сталкиваемся с проблемой однозначности получим троичный код антигрея. === Псевдокод ===<code> '''function''' genTernAntiGray(n: '''int'''): '''for''' v = <000..0> '''to''' <022..2> <span style="соседаcolor:Green" и можем привести такой код>// троичные вектора длины <tex>n</tex> </span> '''for''' i = 0 '''to''' 2 print(v) digitCircleShift(v)</code>Заметим, соседние элементы которого будут отличаться во всех разрядахчто данный алгоритм можно обобщить на случай <tex>k</tex>-ичного кода антигрея.

=== Пример Примеры работы алгоритма ===

!stylecolspan="2" align="width:45pxcenter"| n = 1 !stylecolspan="width:45px2" align="center"| n = 2 !colspan="3" align="center" style| n = 3|-!align="width:135pxcenter"| Первые <tex>3^{n -1}</tex><br>векторов !align= "center"|Коды антигрея !align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !align="center"|Коды антигрея !align="center"|Первые <tex>3^{n-1}</tex><br>векторов !colspan="2" align="center"|Коды антигрея|-| '''0''' || '''0''' || '''00''' || '''00''' || '''000''' || '''000''' || 200

| 0 || 00 1 || 000 '''01''' || 010 11 || 020'''001''' || 111 || '''012'''

| 1 || 11 2 || 111 '''02''' || 121 22 || 101'''002''' || 222 || 120

| 2 || 22 || 222 || 202 '''01''' || 212'''010''' || '''001''' || 201

| || 01 || 001 || 12 || '''011 ''' || 112 || 021'''020'''

| || 12 || 112 || 122 20 || 102'''012''' || 220 || 101

| || 20 || 220 || 200 '''02''' || 210'''020''' || '''002''' || 212

| || 02 || 002 || 012 10 || 022'''021''' || 110 || '''021'''

| || 10 || 110 || 120 21 || 100'''022''' || 221 || 102

| || 21 || 221 || 201 || || '''010''' || 210|-| || || || || || 121 || '''022'''|-| || || || || || 202 || 100|-| || || || || || '''011''' || 211|-| || || || || || 122 ||

=== Алгоритм генерации === Упорядочим все троичные вектора лексикографически. Тогда для первых <tex>3^{n-1}</tex> векторов будем выводить все его поразрядные циклические сдвиги. Утверждается, что выполняя эти действия мы получим троичный код антигрея. === Псевдокод Доказательство корректности алгоритма ===

genTernAntiGray(n)Обозначим <tex>i</tex>-ый троичный вектор как <tex>G_i^0</tex>, его первый и второй циклический сдвиги как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex> соответственно. Получаем вектора в следующем порядке::<tex>\dots</tex> <br> for v = :<tex>G_i^000..0</tex> <br>:<tex>G_i^1</tex> <br> to :<022..tex>G_i^2</tex> <br> digitCircleShift(v):<tex>G_{i+1}^0</tex> <br>:<tex>\dots</tex><tex >G_i^0</tex> и <tex>G_i^1</tex>, равно как <tex>G_i^1</tex> и <tex>G_i^2</tex>, отличаются во всех битах. <br> while(v[Если говорить о векторах как о троичных числах, то <tex>G_{i+1}^0] != </tex> получено из <tex>G_i^0) print</tex> прибавлением единицы, это значит, что у <tex>G_{i+1}^0</tex> несколько разрядов справа на единицу больше (vпо модулю <tex>3</tex>) digitCircleShift, чем у <tex>G_i^0</tex> (vпо правилам сложения в столбик) Заметим. С другой стороны <tex>G_{i}^2</tex> получено из <tex>G_{i}^0</tex> двумя циклическими сдвигами вперёд, что данный алгоритм равносильно одному циклическому сдвигу назад. Таким образом, в числе <tex>G_{i+1}^0</tex> некоторые биты такие же, как в <tex>G_{i}^0</tex>, остальные на единицу больше; в числе <tex>G_{i}^2</tex> все биты на один меньше по сравнению с <tex>G_{i}^0</tex>, значит <tex>G_{i}^2</tex> и <tex>G_{i+1}^0</tex> различны во всех битах.Подобные рассуждения можно обобщить на случай провести для любого <tex>k</tex>-ичного кода антигрея, где <tex>k \geqslant 3</tex>. === Доказательство корректности алгоритма ===

== Источники информации == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

*[http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3AGray_code#Anti-Gray_Codes.3F Talk[Категория:Gray Code - Wikipedia, the free encyclopediaКомбинаторика]]