Коды антигрея

Материал из Викиконспекты
Версия от 10:14, 13 сентября 2018; 80.239.140.98 (обсуждение) (Псевдокод)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Код антигрея (англ. Anti-Gray Code) — такое упорядочивание [math]k[/math]-ичных векторов, что расстояние Хэмминга между двумя соседними векторами максимально.

Код антигрея может использоваться для обнаружения неисправностей в устройстве при переходе в соседнее состояние. Часто используется в приборах, устанавливающихся на улице. Такое кодирование позволяет вовремя выявить поломку или какое-то загрязнение и своевременно устранить неисправность.

Двоичный код антигрея[править]

Определение:
Двоичный код антигрея (англ. Binary Anti-Gray Code) — такое упорядочивание двоичных векторов длины [math]n[/math], что соседние отличаются не менее, чем в [math]n-1[/math] битах.

Заметим: упорядочивание векторов такое, что соседние отличаются во всех битах, возможно только для [math]n = 1[/math]. Это объясняется тем, что для двоичного вектора существует ровно один вектор, отличающийся во всех битах, а в последовательности, где [math]n \gt 1[/math], таких векторов должно быть два.

Пример[править]

n = 1 n = 2 n = 3
0 00 000
1 11 111
01 001
10 110
011
100
010
101

Алгоритм генерации[править]

Возьмем двоичный зеркальный код Грея размером [math]n[/math]. Тогда для первых [math]2^{n-1}[/math] двоичных векторов будем:

  1. Печатать двоичный вектор
  2. Печатать его инверсию

Утверждается, что с помощью данного алгоритма мы напечатаем двоичный код антигрея.

Псевдокод[править]

 function genBinAntiGray(n: int):
   for i = 1 to 2 ** (n - 1)
     v = getMirrorGray(i, n)
     print(v)
     inverseBits(v)
     print(v)

Доказательство корректности алгоритма[править]

Обозначим за [math]G_i[/math][math]i[/math]-ый вектор в зеркальном коде Грея, [math]\overline G_i[/math] — его инверсию. Тогда вектора будут располагаться в таком порядке:

[math]\dots[/math]
[math]G_i[/math]
[math]\overline G_i[/math]
[math]G_{i+1}[/math]
[math]\overline G_{i+1}[/math]
[math]G_{i+2}[/math]
[math]\dots[/math]

[math]G_i[/math] и [math]\overline G_i[/math] отличаются во всех битах.
Если [math]G_i[/math] и [math]G_{i+1}[/math] отличаются в [math]k[/math]-ом бите, то инверсия [math]G_i[/math] совпадает с [math]G_{i+1}[/math] только в [math]k[/math]-ом бите. То есть [math]\overline G_i[/math] и [math]G_{i+1}[/math] отличаются во всех позициях, кроме [math]k[/math]-ой.

Троичный код антигрея[править]

Определение:
Троичный код антигрея (англ. Ternary Anti-Gray Code) — такое упорядочивание троичных векторов, что соседние отличаются во всех разрядах.

В отличие от двоичного кода антигрея, здесь мы не сталкиваемся с проблемой однозначности "соседа" и можем привести такой код, соседние элементы которого будут отличаться во всех разрядах.

Алгоритм генерации[править]

Упорядочим все троичные вектора лексикографически. Тогда для первых [math]3^{n-1}[/math] векторов будем выводить сначала сам этот вектор, потом [math]2[/math] его поразрядных циклических сдвига (каждый отдельный бит увеличиваем на [math]1[/math]).
Например, если мы имеем вектор [math]021[/math], то вы выведем: [math]021[/math], [math]102[/math], [math]210[/math].

Утверждается, что выполняя эти действия мы получим троичный код антигрея.

Псевдокод[править]

 function genTernAntiGray(n: int):
   for v = <000..0> to <022..2> // троичные вектора длины [math]n[/math] 
     for i = 0 to 2
       print(v)
       digitCircleShift(v)

Заметим, что данный алгоритм можно обобщить на случай [math]k[/math]-ичного кода антигрея.

Примеры работы алгоритма[править]

n = 1 n = 2 n = 3
Первые [math]3^{n-1}[/math]
векторов
Коды антигрея Первые [math]3^{n-1}[/math]
векторов
Коды антигрея Первые [math]3^{n-1}[/math]
векторов
Коды антигрея
0 0 00 00 000 000 200
1 01 11 001 111 012
2 02 22 002 222 120
01 010 001 201
12 011 112 020
20 012 220 101
02 020 002 212
10 021 110 021
21 022 221 102
010 210
121 022
202 100
011 211
122

Доказательство корректности алгоритма[править]

Обозначим [math]i[/math]-ый троичный вектор как [math]G_i^0[/math], его первый и второй циклический сдвиги как [math]G_i^1[/math] и [math]G_i^2[/math] соответственно. Получаем вектора в следующем порядке:

[math]\dots[/math]
[math]G_i^0[/math]
[math]G_i^1[/math]
[math]G_i^2[/math]
[math]G_{i+1}^0[/math]
[math]\dots[/math]

[math]G_i^0[/math] и [math]G_i^1[/math], равно как [math]G_i^1[/math] и [math]G_i^2[/math], отличаются во всех битах.
Если говорить о векторах как о троичных числах, то [math]G_{i+1}^0[/math] получено из [math]G_i^0[/math] прибавлением единицы, это значит, что у [math]G_{i+1}^0[/math] несколько разрядов справа на единицу больше (по модулю [math]3[/math]), чем у [math]G_i^0[/math] (по правилам сложения в столбик). С другой стороны [math]G_{i}^2[/math] получено из [math]G_{i}^0[/math] двумя циклическими сдвигами вперёд, что равносильно одному циклическому сдвигу назад. Таким образом, в числе [math]G_{i+1}^0[/math] некоторые биты такие же, как в [math]G_{i}^0[/math], остальные на единицу больше; в числе [math]G_{i}^2[/math] все биты на один меньше по сравнению с [math]G_{i}^0[/math], значит [math]G_{i}^2[/math] и [math]G_{i+1}^0[/math] различны во всех битах. Подобные рассуждения можно провести для любого [math]k[/math]-ичного кода антигрея, где [math]k \geqslant 3[/math].

См. также[править]

Источники информации[править]