Изменения

Перейти к: навигация, поиск
м
Было: пусть дан алфавит из 5 символов <tex>A=\{A,B,C,C,D\}</tex> ; Стало: пусть дан алфавит из 5 символов <tex>A=\{A,B,C,D,E\}</tex>,
'''Код Хаффмана Оптимальный префиксный код с длиной кодового слова не более L бит''' - это вариация классического кода Хоффмана с дополнительным ограничением: код, в котором длина каждого кодового слова не должна превышать заданной константы. Здесь будет приведен алгоритм, решающий эту задачу за время <tex> O(nL) </tex>, где <tex>L</tex> - максимальная длина кодового слова, <tex>n</tex> - размер алфавита, c помощью сведения задачи к одной из вариаций '''задачи [[Задача_о_рюкзаке | задаче о банкомате'''рюкзаке]].  Данный алгоритм бывает полезен, когда нам нужно ограничить максимальную длину кодового слова, а при использовании алгоритма Хаффмана самому редко встречающемуся символу соответствует слишком длинное кодовое слово. Например, пусть дан алфавит из 5 символов <tex>A=\{A,B,C, CD, DE\}</tex>, а частоты символов являются степенями двойки: <tex>P=\{1,2,4, 8, 16\}</tex>. Тогда классический код Хоффмана будет выглядеть следующим образом:
<tex> A = 1111 </tex>
Важно заметить следующий факт. В худшем случае все кодовые слова будут иметь длину L бит. Тогда мы можем закодировать <tex> 2^L </tex> символов. Таким образом, нельзя получить описанный выше код, если <tex> n > 2^L </tex>.
== Задача о банкомате. ==В вариации задаче о банкомате, которую мы рассмотрим, у вас имеется <tex>N</tex> монет. Каждая монета характеризуется двумя параметрами: номиналом и весом. При этом все номиналы являются степенями двойки и не превышают <tex>2^0</tex>. Необходимо выбрать из имеющихся монет некоторый набор так, чтобы их суммарный номинал был равен <tex>S</tex> (натуральное число), а суммарный вес минимален. == Алгоритм решения задачи о банкомате. ==Рассмотрим алгоритм решения приведенной выше вариации Сведение задачи о банкомате, считая, что решение существует.# Разделим имеющиеся у нас монеты на списки по номиналу (свой список для каждого номинала) и упорядочим монеты по возрастанию весов внутри списков, а списки в порядке возрастания номиналов.# Рассмотрим первый список (с монетами самого низкого номинала). Разобьем в нем все монеты на пары (1 и 2, 3 и 4 и т. д.) Заменим каждую пару монет одной новой монетой, номинал и вес которой равен сумме номиналов и весов старых. Если число монет было нечетно, то последнюю монету, которая не имеет пары, исключим из рассмотрения.# Объединим первый список со вторым так, чтобы монеты в получившемся списке остались упорядочены по весу.# Будем повторять шаги 2-3 до тех пор, пока у нас не останется один список, в котором содержатся монеты номинала 1 (<tex>2^0</tex>), упорядоченные по весу. Возьмем первые <tex>S</tex> монет из списка. Это и будет ответ к задаче. == Сведение рюкзаке к генерации оптимального префиксного кода Хоффмана с длиной кодового слова не более L бит. ==Пусть <tex>L</tex> - ограничение на длину кодового слова, а <tex>P=\{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}</tex> - частоты символов алфавита.Алгоритм генерации кода будет следующим:
# Отсортируем символы алфавита в порядке возрастания их частот.
# Для каждого символа создадим <tex>L</tex> монет номиналами предметов ценностью <tex>2^{-1}..2^{-L}</tex>, каждая каждый из которых имеет вес <tex>p_{i}</tex>.# С помощью описанного выше алгоритма задачи о рюкзаке выберем набор монет суммарным номиналом предметов суммарной ценностью <tex>n - 1</tex> (<tex>n</tex> - размер алфавита) с минимальным суммарным весом. # Посчитаем массив <tex>H=\{h_{1},h_{2},...,h_{n}\}</tex>, где <tex>h_{i}</tex> - количество монет номинала предметов ценностью <tex>p_{i}</tex>, которые попали в наш набор.
При этом <tex>h_{i}</tex> - это длина кодового слова для <tex>i</tex>-го символа.Зная длины кодовых слов, легко восстановить и сам код.
== Восстановление ответа. ==
# Отсортируем все символы по возрастанию длины кодового слова, которое им соответствует, а при равенстве длин - в алфавитном порядке.
# Первому символу сопоставим код, состоящий из нулей, соответствующей длины.
# Каждому следующему символу сопоставим следующее двоичное число. При этом если его длина меньше необходимой, то допишем нули справа.
Заметим, что при генерации каждого следующего кодового слова, в качестве его префикса выступает последовательность, лексикографически большая, чем предыдущее кодовое слово (т.к. мы берем следующее двоичное число), а значит ни для каких двух кодовых слов одно не может быть префиксом другого. Т.е. код, сгенерированный таким образом является префиксным.
== Пример работы алгоритма генерации оптимального префиксного кода Хоффмана с длиной кодового слова не более L бит ==Пусть <tex>A=\{a_{1},a_{2}A,...B,a_{n}C\}</tex> — алфавит из n трех различных символов, <tex>P=\{p_{1},p_{2},...,p_{n}3\}</tex> — соответствующий ему набор частот. Пусть <tex>L = 2</tex> - ограничение на длину кодового слова.
Сначала создадим необходимый набор монетпредметов; <tex>(2^{-1}; 1), (2^{-2}; 1), (2^{-1}; 2), (2^{-2}; 2), (2^{-1}; 3), (2^{-2}; 3) </tex> Распределим их по спискам:
{| class="wikitable"
! Символ | Номинал | Частота || Предметы|- align = "center"| A || 1 || <tex> (2^{-21} </tex> || ; 1), <tex>(2^{-2}; 1)</tex> |- align = "center"| B || 2 || <tex>(2^{-21}; 2)</tex> || <tex>, (2^{-2}; 32)</tex>|-align = "center"| Номинал = <tex> 2^{-1} </tex> C || <tex>(2^{-1}; 1)</tex> 3 || <tex>(2^{-1}; 23)</tex> || <tex>, (2^{-2}; 3)</tex>
|}
Выполним объединение первого списка по парам Решим задачу о рюкзаке для заданного набора и исключим последний элемент, твыберем предметы суммарной ценностью <tex> n - 1 = 2 </tex> с минимальным суммарным весом.к. для него нет пары В нашем случае в оптимальный набор попадут следующие предметы:
{| class="wikitable"| Номинал = <tex> 2^{-2} </tex> || <tex>(2^{-1}; 31)</tex> || || |-| Номинал = <tex> , (2^{-1} </tex> || <tex>; 2), (2^{-1}; 13)</tex> || <tex>, (2^{-12}; 21)</tex> || <tex>, (2^{-2}; 32)</tex>|} Объединим первый список со вторым:
{| class="wikitable"| Номинал = <tex> 2^{-2} </tex> || || || |-| Номинал = <tex> 2^{-1} </tex> || <tex>(2^{-1}; 1)</tex> || <tex>(2^{-1}; 2)</tex> || <tex>(2^{-1}; 3)</tex> || <tex>(2^{-1}; 3)</tex>|} Выполним объединение второго списка по парам: {| class="wikitable"| Номинал = <tex> 2^{0} </tex> || <tex>(2^{0}; 3)</tex> || <tex>(2^{0}; 6)</tex> |} Теперь нам нужно набрать монеты суммарным номиналом <tex> n - 1 = 2 </tex> с минимальным суммарным весом, т.е. просто возьмем первые две монеты из итогового списка. Посчитаем массив <tex> H </tex>. Обратите внимание, что при подсчете количества монет определенного веса мы учитываем монеты, которые были даны изначально, а не те, которые получились путем слияния исходных.:
<tex>H=\{2,2,1\}</tex>
== Пример восстановления ответа. ==
Итак, у нас есть <tex>A=\{A,B,C\}</tex> — алфавит из n различных символов, а также <tex>H=\{2,2,1\}</tex> - соответсвующие длины кодовых слов. Отсортируем символы в соответсвии с этими длинами.
Сопоставим первому символу код, состоящий из 1 нуля:
<tex> A = 11 </tex>
 
==См. также==
*[[Алгоритм_Хаффмана | Алгоритм Хаффмана]]
*[[Задача_о_рюкзаке | Задача о рюкзаке]]
==Источники информации==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Package-merge_algorithm Package-merge algorithm]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_Huffman_code Canonical Huffman code]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Алгоритмы сжатия ]]
1
правка

Навигация