Количество делителей, сумма делителей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Количество делителей == {{Определение |definition= Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определ…»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 10: Строка 10:
  
  
Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:
+
Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативна]]:
 
<center><tex>
 
<center><tex>
 
~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
 
~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
Строка 16: Строка 16:
  
 
Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',
 
Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',
то в силу мультипликативности
+
то в силу [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативности]]
  
 
<center><tex>
 
<center><tex>
Строка 28: Строка 28:
 
~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
 
~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
 
</tex></center>
 
</tex></center>
 
  
 
== Сумма делителей ==
 
== Сумма делителей ==
Строка 42: Строка 41:
  
  
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> мультипликативна по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex>
+
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативна]] по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex>
 
<center><tex>
 
<center><tex>
 
~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
 
~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
 
</tex></center>
 
</tex></center>

Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022

Количество делителей

Определение:
Арифметическая функция [math]~\tau (a) [/math] определяется как число положительных делителей натурального числа a:
[math] ~\tau(a) = \sum_{d|a} 1 [/math]


Если a и b взаимно просты, то каждый делитель произведения ab может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей a и b, и обратно, каждое такое произведение является делителем ab. Отсюда следует, что функция [math]~\tau[/math] мультипликативна:

[math] ~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b) [/math]

Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, то в силу мультипликативности

[math] ~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k}) [/math]

Но положительными делителями числа [math]p_i^{\alpha_i}[/math] являются [math]~\alpha_i+1[/math] чисел [math]1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}[/math].

Значит,

[math] ~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1) [/math]

Сумма делителей

Определение:
Функция [math]~\sigma (a) [/math] определяется как сумма делителей натурального числа a:
[math] ~\sigma (a) = \sum_{d|a} d [/math]



Функция [math]~\sigma (a) [/math] мультипликативна по тем же соображениям, что и [math]~\tau (a) [/math]

[math] ~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b) [/math]