Изменения

|definition = '''Комбинаторные объекты''' (англ. ''combinatorial objects'') — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.}}

|definition = Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются '''упорядоченными'''(англ. ''ordered'').

'''[[Получение объекта по номеру#Битовые вектора | Битовые вектора]]''' &mdash; последовательность нулей и единиц заданной длины. Количество таких объектов вычисляется по формуле <tex>2^{n}</tex>, так как на каждое из <tex>n</tex> мест мы можем поставить один из двух элементов.

'''Перестановки<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия — Перестановки]</ref>''' &mdash; это упорядоченный набор чисел <tex>1, 2,\ldots, n</tex>, обычно трактуемый как биекция на множестве <tex>\{ 1, 2,\ldots, n \}</tex>, которая числу <tex>i</tex> ставит соответствие <tex>i</tex>-й элемент из набора. Количество перестановок равно <tex>P_n = n!</tex>. Получить эту формулу можно следующим образом: поставим один из <tex>n</tex> элементов на первое место, далее поставим на второе один из <tex>n - 1</tex> оставшихся элементов,... один из <tex>1</tex> элемента на последнее. Всего таких выборов можно совершить <tex>n \times (n - 1) \times ... \times 1 = n!</tex>.

'''Перестановки с повторениями''' — это те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз. Число различных перестановок с повторениями из элементов <tex>{a_1, a_2, ..., a_n}</tex>, в которых эти элементы повторяются соответственно <tex>k_1, k_2, ..., k_n</tex> раз, равно <tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + ... + k_n)!}{k_1!k_2!...k_n!}</tex>. Выведем формулу. Всего перестановок <tex>(k_1 + k_2 + ... + k_n)!</tex>, однако среди них есть и повторяющиеся. Такие попадаются, когда мы переставляем местами одинаковые элементы. Тогда всего повторяющихся перестановок будет в <tex>k_1!k_2!...k_n!</tex> раз. В итоге получаем необходимую формулу.

'''Размещение'''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Размещения]</ref> из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> &mdash; это упорядоченный набор из <tex>k</tex> различных элементов некоторого <tex>n</tex>-элементного множества. Таких наборов <tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. Выведем формулу подобно тому, как выводили для '''перестановок''': на первое место можно поставить один из <tex>n</tex> элементов, на следующее один из <tex>n - 1</tex>,... и на последнее один из <tex>n - k + 1</tex>. Всего получится <tex dpi = "150">n \times (n - 1) \times ... \times (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>.

'''Размещение с повторениями''', составленное из данных <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> — это отображение множества <tex>k</tex> первых натуральных чисел <tex>1, 2, ...\ldots, k</tex> в данное множество <tex>\{a_1, a_2, ...\ldots, a_n\}</tex>. Всего таких элементов <tex>n^k</tex>. Формула выводится так же, как и для битовых векторов.

'''Сочетания<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Сочетания]</ref>''' из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> &mdash; это набор <tex>k</tex> элементов, выбранных из данных <tex>n</tex> элементов. Количество таких наборов вычисляется по формуле <tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>. Выведем данную формулу из формулы размещений, а именно заметим, что в размещениях порядок элементов имеет значение, а в сочетаниях нет. Это значит, что наборы <tex>\{1, 2\}</tex> и <tex>\{2, 1\}</tex> эквивалентны. То есть в размещениях любой вариант сочетания повторяется столько же раз, сколько можно сделать перестановок для <tex>k</tex> мест. Тогда <tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{A^{k}_n}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>.

'''Сочетания с повторениями''' — это те же сочетания, только теперь даны <tex>n</tex> типов элементов, из которых нужно выбрать <tex>k</tex> элементов, причем элементов каждого типа неограниченное количество, и элементы одного типа должны стоять подряд друг за другом. Способов таких выборов всего <tex dpi = "150">\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>. Чтобы вывести формулу, давайте различные элементы в перестановке разделим перегородками, а каждый элемент назовем <tex>1</tex>, тогда, чтобы получить новую перестановку просто будем менять местами перегородки и <tex>1</tex>, причем таких перегородок будет <tex>n - 1</tex>, даже если мы не брали некоторые типы элементов. Таких перестановок <tex>(n - 1 + k)!</tex>, а за вычетом перестановок одинаковых элементов (перегородок и <tex>1</tex>), коих в <tex>k!(n - 1)!</tex> раз больше необходимых, получаем необходимую формулу.

[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | '''Разбиение''' числа '''на неупорядоченные слагаемые''']] &mdash; это представление числа <tex>n</tex> в виде суммы слагаемых. Всего таких разбиений::<p><tex>P_{n,k} = \left \{ \begin{array}{ll} P_{n,k - 1} + P_{n - k, k}, & 0 < k \leqslant n \\ P_{n, n}, & k > n \\1, & n = 0, k = 0 \\0, & n \neq 0 , k = 0, \end{array} \right.</tex></p>где <tex>k</tex> — число, не превышаемое слагаемыми, причем начальное значение <tex>k = n</tex>. Вывод формулы можно найти [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | здесь]].

[[Числа Стирлинга второго рода | '''Разбиение''' множества <math>X</math> '''на подмножества''']] — это семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:

Подробнее можно прочитать на странице о [[Числа Стирлинга второго рода | числах Стирлинга второго порядка]]. == Источники информации Количество комбинаторных объектов =={| class="wikitable" border =1|'''Тип объекта'''||'''Число объектов'''|-* [http:|Битовые вектора||<tex>2^{n}</tex>|-|Перестановки||<tex>P_n = n!</hijos.rutex>|-|Перестановки с повторениями||<tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</izuchenietex>|-|Размещения||<tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n -matematikik)!}</algebratex>|-10-klass|Размещения с повторениями||<tex>n^k</19tex>|-razmeshheniya|Сочетания||<tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n -perestanovkik)!}</tex>|-sochetaniya|Сочетания с повторениями||<tex dpi = "150">\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k -s1)!}{k!(n -povtoreniyami1)!} = C^k_{n + k -formula1}</tex>|-vklyucheniya|Разбиение на неупорядоченные слагаемые||[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | Нахождение количества разбиений числа на слагаемые]]|-isklyucheniya/ Размещения, перестановки, сочетания с повторениями|Разбиение на подмножества||[[Числа Стирлинга второго рода | Числа Стирлинга второго порядка]]|}