30
правок
Изменения
м
* '''=== Битовые вектора''' — последовательность нулей и единиц заданной длины.===* '''Перестановки''' — это упорядоченный набор чисел <tex>1, 2,\ldots, n,</tex> обычно трактуемый как биекция на множестве <tex>\{ 1, 2,\ldots, n \}</tex>, которая числу ''i'' ставит соответствие ''i''-й элемент из набора.{Определение* '''Сочетания''' из '|definition='n'' [[Получение объекта по номеру#Битовые вектора | Битовые вектора]]''k'' — это набор ''k'' элементов, выбранных из данных ''n'' элементов(англ.* '''Размещение''' из ''n'' по ''kbit vectors'' ) — это упорядоченный набор из ''k'' различных элементов некоторого n-элементного множествапоследовательность нулей и единиц заданной длины.* '''Разбиение''' числа '''на слагаемые'''.* Все возможные подмножества заданного множества.* '''Разбиение''' множества '''на подмножества''' такие, что в объединении они дают исходное множество, но при этом ни одно из них не пересекается с любым другим.}}
Количество разбиений числа на слагаемые удовлетворяют рекуррентному соотношению=== Размещения ==={{Определение|definition='''Размещение'''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Размещения]</ref> (англ. ''arrangement'') из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> — упорядоченный набор из <tex>k</tex> различных элементов некоторого <tex>n</tex>-элементного множества.}}Примером размещения может служить задача о рассадке <tex>k</tex> человек за стол по <tex>n</tex> местам, где <tex>n > k</tex>.
Оно выражается числами === Разбиение на подмножества ==={{Определение|definition=[[Числа Стирлинга второго рода| '''Разбиение''' множества <math>X</math> '''на подмножества''']] (англ. ''partition of a set'') — семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\}, которые удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.}}{{main|Числа Стирлинга второго рода}}
<tex>S(n, 0) = 0</tex>, для ''n'' > 0,= См. также ==*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке | Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]*[[Получение следующего объекта | Получение следующего объекта]]*[[Получение номера по объекту | Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру | Получение объекта по номеру]]
<tex>S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + k \cdot S(n - 1, k)= Примечания ==<references/tex> для 0 < ''k'' < ''n''.
Нет описания правки
{{Определение
|definition = '''Комбинаторные объекты''' (англ. ''combinatorial objects'') — конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.}}
{{Определение
|definition = Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются '''упорядоченными''' (англ. ''ordered'').
}}
== Примеры комбинаторных объектов ==
== Подсчет числа комбинаторных объектов с помощью рекуррентных формул =Перестановки ==={{ОпределениеМетод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с |definition='''Перестановки<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия — Перестановки]</ref>''' (англ. ''npermutations'' предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения) — упорядоченный набор чисел <tex>1, 2,\ldots, n</tex>, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношениемобычно трактуемый как биекция на множестве <tex>\{ 1, искомую величину можно вычислить2, исходя из того\ldots, что для небольшого количества предметов (одногоn \}</tex>, двух) решение задачи легко находитсякоторая числу <tex>i</tex> ставит соответствие <tex>i</tex>-й элемент из набора.}}Примером перестановки может служить задача о рассадке <tex>n</tex> человек за стол по <tex>n</tex> местам.
=== Перестановки с повторениями ==={{Определение|definition='''Количество разбиений числа на слагаемыеПерестановки с повторениями''' (англ. ''permutations with repetitions'') — те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется набор книг <tex>\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}</tex>, каждая из которых имеется в <tex>k_1, k_2, \ldots, k_n</tex> экземплярах соответственно. Сколько существует способов переставить книги на полке?
=== Размещения с повторениями ==={{Определение|definition='''Размещение с повторениями''' (англ. ''arrangement with repetitions''), составленное из данных <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> — отображение множества <tex>k</tex>A(0первых натуральных чисел <tex>1, 2, \ldots, t) = 0k</tex>в данное множество <tex>\{a_1, где ''t'' a_2, \ldots, a_n\}</tex>.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется <tex>n</tex> 0книг,каждая в <tex>k</tex> экземплярах. Сколькими способами может быть сделан выбор книг из числа данных?
=== Сочетания ==={{Определение|definition='''Сочетания<texref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Сочетания]</ref>A''' (1, 1англ. ''combinations'') = 1из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> — набор <tex>k</tex>элементов,выбранных из данных <tex>n</tex> элементов.}}Примером сочетания может служить задача о выборе <tex>k</tex> книг из <tex>n</tex> вариантов.
=== Сочетания с повторениями ==={{Определение|definition='''Сочетания с повторениями''' (англ. ''combinations with repetitions'') — те же сочетания, только теперь даны <tex>A(n</tex> типов элементов, из которых нужно выбрать <tex>k</tex> элементов, t) = A(nпричем элементов каждого типа неограниченное количество, t - 1) + A(и элементы одного типа должны стоять подряд друг за другом.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется <tex>n - t, t)</tex>, где первый параметр - это число, которое мы разбиваем, а второй - это максимальное слагаемое в разбиениипирожных.Сколько способов купить <tex>k</tex> пирожных?
=== Разбиение на неупорядоченные слагаемые ==={{Определение|definition=[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | '''Количество неупорядоченных разбиений Разбиение'''числа 'n''-элементного множества на неупорядоченные слагаемые''k']] (англ. ' непустых подмножеств.'partition'') — представление числа <tex>n</tex> в виде суммы слагаемых.}}{{main|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые}}
== Число комбинаторных объектов =={| class="wikitable" border = 1|'''Тип объекта'''||'''Число объектов'''|-|Битовые вектора||<tex>2^{n}</tex>|-|Перестановки||<tex>P_n = n!</tex>|-|Перестановки с повторениями||<tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>|-|Размещения||<tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>|-|Размещения с повторениями||<tex>n^k</tex>|-|Сочетания||<tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>|-|Сочетания с повторениями||<texdpi = "150">S\widetilde{C}^k_n = \frac{(n, + k - 1)!}{k!(n- 1) !} = C^k_{n + k - 1}</tex>, для ''n'' ≥ 0,|-|Разбиение на неупорядоченные слагаемые||[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | Нахождение количества разбиений числа на слагаемые]]|-|Разбиение на подмножества||[[Числа Стирлинга второго рода | Числа Стирлинга второго порядка]]|}
== Источники информации ==* [http://hijos.ru.wikipedia.org/wikiizuchenie-matematiki/algebra-10-klass/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Комбинаторика 19-razmeshheniya-perestanovki-sochetaniya-s-povtoreniyami-formula-vklyucheniya- Википедияisklyucheniya/ Математика, которая мне нравится — Размещения, перестановки, сочетания с повторениями. Формула включения – исключения]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика ]]
[[Категория: Комбинаторные объекты ]]
