Изменения

== {{Определение |definition =='''Комбинаторные объекты''' — это (англ. ''combinatorial objects'') — конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.}} {{Определение|definition = Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются '''упорядоченными''' (англ. ''ordered'').}}

* === Битовые векторы ==={{Определение|definition='''[[Получение объекта по номеру#Битовые векторы | Битовые векторавекторы]]''' (англ. ''bit vectors'' ) &mdash; последовательность нулей и единиц заданной длины.* }} === Перестановки ==={{Определение|definition='''Перестановки<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия — Перестановки]</ref>''' (англ. ''permutations'' ) &mdash; это упорядоченный набор чисел <tex>1, 2,\ldots, n,</tex> , обычно трактуемый как биекция на множестве <tex>\{ 1, 2,\ldots, n \}</tex>, которая числу ''<tex>i'' </tex> ставит соответствие ''<tex>i''</tex>-й элемент из набора.* }}Примером перестановки может служить задача о рассадке <tex>n</tex> человек за стол по <tex>n</tex> местам. === Перестановки с повторениями ==={{Определение|definition='''СочетанияПерестановки с повторениями''' (англ. ''permutations with repetitions'' ) — те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется набор книг <tex>\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}</tex>, каждая из которых имеется в <tex>k_1, k_2, \ldots, k_n</tex> экземплярах соответственно. Сколько существует способов переставить книги на полке? === Размещения ==={{Определение|definition='''nРазмещение''' по <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Размещения]</ref> (англ. ''karrangement'' ) из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> &mdash; это упорядоченный набор из <tex>k</tex> различных элементов некоторого <tex>n</tex>-элементного множества.}}Примером размещения может служить задача о рассадке <tex>k</tex> человек за стол по <tex>n</tex> местам, где <tex>n > k</tex>. === Размещения с повторениями ==={{Определение|definition='''Размещение с повторениями''' (англ. ''karrangement with repetitions'' элементов), выбранных составленное из данных ''<tex>n'' </tex> элементовпо <tex>k</tex> — отображение множества <tex>k</tex> первых натуральных чисел <tex>1, 2, \ldots, k</tex> в данное множество <tex>\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}</tex>.* }}В пример можно привести следующую задачу: имеется <tex>n</tex> книг, каждая в <tex>k</tex> экземплярах. Сколькими способами может быть сделан выбор книг из числа данных? === Сочетания ==={{Определение|definition='''РазмещениеСочетания<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Сочетания]</ref>''' из (англ. ''ncombinations'' ) из <tex>n</tex> по ''<tex>k'' </tex> &mdash; это упорядоченный набор <tex>k</tex> элементов, выбранных из данных <tex>n</tex> элементов.}}Примером сочетания может служить задача о выборе <tex>k</tex> книг из <tex>n</tex> вариантов. === Сочетания с повторениями ==={{Определение|definition=''k'Сочетания с повторениями''' (англ. ''combinations with repetitions'' различных ) — те же сочетания, только теперь даны <tex>n</tex> типов элементов, из которых нужно выбрать <tex>k</tex> элементов, причем элементов некоторого каждого типа неограниченное количество, и элементы одного типа должны стоять подряд друг за другом.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется <tex>n-элементного множества</tex> пирожных.Сколько способов купить <tex>k</tex> пирожных? * === Разбиение на неупорядоченные слагаемые ==={{Определение|definition=[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | '''Разбиение''' числа '''на неупорядоченные слагаемые''']] (англ. ''partition'') &mdash; представление числа <tex>n</tex> в виде суммы слагаемых.* Все возможные }}{{main|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые}} === Разбиение на подмножества заданного множества.==={{Определение* |definition=[[Числа Стирлинга второго рода | '''Разбиение''' множества <math>X</math> '''на подмножества''' такие]] (англ. ''partition of a set'') — семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\}, {\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что в объединении они дают исходное множество<math>\alpha \not= \beta</math>;# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.}}{{main|Числа Стирлинга второго рода}} == Число комбинаторных объектов =={| class="wikitable" border = 1|'''Тип объекта'''||'''Число объектов'''|-|Битовые векторы||<tex>2^{n}</tex>|-|Перестановки||<tex>P_n = n!</tex>|-|Перестановки с повторениями||<tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>|-|Размещения||<tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>|-|Размещения с повторениями||<tex>n^k</tex>|-|Сочетания||<tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>|-|Сочетания с повторениями||<tex dpi = "150">\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>|-|Разбиение на неупорядоченные слагаемые||[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | Нахождение количества разбиений числа на слагаемые]]|-|Разбиение на подмножества||[[Числа Стирлинга второго рода | Числа Стирлинга второго порядка]]|} ==Соответствующие доказательства=={{Теорема | id=1|statement=Число различных битовых векторов длины <tex>n</tex> равно <tex>2^{n}</tex>. |proof=Число битовых векторов {{---}} это частный случай [[#5 | размещения с повторениями]] <tex>2</tex> элементов по <tex>n</tex>. Таким образом, но количество различных битовых векторов будет равно <tex>2^n</tex>.}} {{Теорема | id=2|statement=Число различных перестановок из <tex>n</tex> элементов равно <tex>P_n = n!</tex> |proof=Перестановка {{---}} это частный случай [[#4 | размещения]] <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> при этом ни одно из них не пересекается с любым другим<tex>k = n</tex>.Таким образом, количество различных перестановок будет равно <tex>n!</tex>}}

{{Теорема | id=3|statement= Подсчет числа комбинаторных объектов Число различных перестановок с помощью рекуррентных формул ==Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи повторениями из <tex>k</tex> элементов с ''<tex>n'' предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения</tex> группами одинаковых элементов равно <tex>\overline{P_k} (k_1, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношениемk_2, искомую величину можно вычислить\ldots, исходя из того, что для небольшого количества предметов k_n) = \frac{(одногоk_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>, двух) решение задачи легко находитсягде <tex>k_i</tex> {{---}} это количество одинаковых элементов в <tex>i</tex>{{---}}ой группе.

'''|proof=Пусть нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве <tex>A</tex> из <tex>k</tex> элементов. Будем учитывать, что в этом множестве <tex>n</tex> групп одинаковых элементов. Количество разбиений числа на слагаемые'''перестановок из <tex>k</tex> элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые, будет равно <tex>k!</tex>.

{{Теорема | id=4|statement=Число различных размещений из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>A^{k}_n = \frac{n!}{(0, tn - k) = 0!}</tex>, где ''t'' > 0,

<tex>A(1, 1) |proof= 1</tex>,

Доказательство по индукции. База <tex>A(nk = 1</tex>, t) = A(тогда количество размещений из <tex>n, t - </tex> по <tex>1) + A(</tex> равно <tex>n - t, t)</tex>, где первый параметр - это число, которое мы разбиваем, а второй - это максимальное слагаемое в разбиении.

'''Количество неупорядоченных разбиений ''При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение из оставшегося множества, то есть <tex>(n''-элементного множества на ''1)</tex> элементов, по <tex>(k'' непустых подмножеств- 1)</tex>.'''Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>A_{n}^{k}=n \cdot A_{n-1}^{k-1}</tex>. Отсюда получаем <tex>A_{n}^{k} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}</tex>}}

<tex>S(n, n) |proof= 1</tex>, для ''n'' ≥ 0,

Докажем по индукции. База: <tex>S(n, 0) k = 01</tex>, для ''. Тогда <tex> \overline{A_n^1} = n'' </tex> 0,.

При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>S(n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, k) = S(все что осталось образует размещение с повторениями из того же самого множества, то есть из n - 1элементов, по <tex>(k - 1) + </tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>\overline{A_n^k } = n \cdot S(\overline{A_{n }^{k- 1, k)}}</tex> для 0 . Отсюда получаем < ''tex>\overline{A_n^k}=n \cdot n \ldots = n^k'' < ''n''./tex>}}

{{Теорема | id=6|statement=Число различных сочетаний из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex> |proof= Всего размещений из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. В каждом размещении выбраны <tex>k</tex> элементов из данного множества. Если игнорировать порядок этих выбранных <tex>k</tex> элементов, мы получим некоторые сочетания из данного множества по <tex>k</tex>. Другими словами, размещение с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов задают одно и то же сочетание по <tex>k</tex> элементов. Так как размещения с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из <tex>k</tex> элементов равно <tex>k!</tex>, то итоговая формула будет равна <tex>C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>}} {{Теорема | id=7|statement=Число различных сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\overline{C^k_n} = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex> |proof= Рассмотрим двоичный вектор из <tex>(n+k-1)</tex> координат, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей и <tex>k</tex> единиц.  Будем считать нули разделителями, которые делят этот вектор на <tex>n</tex> частей. Тогда предположим, что число единиц в <tex>i</tex>{{---}}м блоке {{---}} это число элементов <tex>k_i</tex> в сочетании с повторением, которое соответствует этому вектору, где <tex>k_i</tex> {{---}} это элемент из изначального множества с номером i. Пример: Если у нас есть набор элементов 1 1 2 2 3, то <tex>k_2</tex> = 2. Получаем, что каждому сочетанию с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> соответствует некоторый вектор из нулей и единиц с <tex>(n+k-1)</tex> координатами, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей. Также наоборот, по каждому такому вектору однозначно восстанавливается сочетание с повторением, ему соответствующее. Значит, число сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> совпадает с числом таких векторов.  Таких векторов столько, сколько вариантов выбрать <tex>k</tex> координат, на которых должны стоять единицы из <tex>(n+k-1)</tex>. Таким образом, ответом будет являться число сочетаний из <tex>(n+k-1)</tex> по <tex>k</tex>. Тогда количество равно <tex> \overline{C_n^k} = C_{n+k-1}^{k}</tex>}}  == См. также ==*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке | Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]*[[Получение следующего объекта | Получение следующего объекта]]*[[Получение номера по объекту | Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру | Получение объекта по номеру]] == Примечания ==<references/> == Источники информации ==* [http://hijos.ru.wikipedia.org/wikiizuchenie-matematiki/algebra-10-klass/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Комбинаторика 19-razmeshheniya-perestanovki-sochetaniya-s-povtoreniyami- Википедиаformula-vklyucheniya-isklyucheniya/ Математика, которая мне нравится — Размещения, перестановки, сочетания с повторениями. Формула включения – исключения]