Изменения

|definition = Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются '''Комбинаторные объектыупорядоченными''' (англ. ''(combinatorial objects)ordered'' — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п).}} 

* === Битовые векторы ==={{Определение|definition='''[[Получение объекта по номеру#Битовые векторы | Битовые векторавекторы]]''' (англ. ''bit vectors' ') &mdash; последовательность нулей и единиц заданной длины.* }} === Перестановки ==={{Определение|definition='''Перестановки<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия — Перестановки]</ref>''' (англ. ''permutations'' ) &mdash; это упорядоченный набор чисел <tex>1, 2,\ldots, n,</tex> , обычно трактуемый как биекция на множестве <tex>\{ 1, 2,\ldots, n \}</tex>, которая числу ''<tex>i'' </tex> ставит соответствие ''<tex>i''</tex>-й элемент из набора.* }}Примером перестановки может служить задача о рассадке <tex>n</tex> человек за стол по <tex>n</tex> местам. === Перестановки с повторениями ==={{Определение|definition='''СочетанияПерестановки с повторениями''' из (англ. ''npermutations with repetitions'' по ''k'' &mdash; это ) — те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется набор ''k'' элементовкниг <tex>\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}</tex>, выбранных каждая из данных ''n'' элементовкоторых имеется в <tex>k_1, k_2, \ldots, k_n</tex> экземплярах соответственно.Сколько существует способов переставить книги на полке? === Размещения ==={{Определение* |definition='''Размещение''' из <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Размещения]</ref> (англ. ''narrangement'' ) из <tex>n</tex> по ''<tex>k'' </tex> &mdash; это упорядоченный набор из ''<tex>k'' </tex> различных элементов некоторого <tex>n</tex>-элементного множества.* }}Примером размещения может служить задача о рассадке <tex>k</tex> человек за стол по <tex>n</tex> местам, где <tex>n > k</tex>. === Размещения с повторениями ==={{Определение|definition='''Разбиение''' числа '''на слагаемыеРазмещение с повторениями'''(англ.* '''Разбиение'arrangement with repetitions'' ), составленное из данных <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> — отображение множества '''на подмножества''' такие<tex>k</tex> первых натуральных чисел <tex>1, 2, \ldots, что k</tex> в объединении они дают исходное данное множество<tex>\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}</tex>.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется <tex>n</tex> книг, но при этом ни одно каждая в <tex>k</tex> экземплярах. Сколькими способами может быть сделан выбор книг из них не пересекается с любым другим.числа данных?

== Подсчет числа комбинаторных объектов с помощью рекуррентных формул =Сочетания ==={{ОпределениеМетод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с |definition='''Сочетания<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Сочетания]</ref>''' (англ. ''ncombinations'' предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения) из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> &mdash; набор <tex>k</tex> элементов, которое называется рекуррентнымвыбранных из данных <tex>n</tex> элементов. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя }}Примером сочетания может служить задача о выборе <tex>k</tex> книг из того, что для небольшого количества предметов (одного, двух) решение задачи легко находится<tex>n</tex> вариантов.

=== Сочетания с повторениями ==={{Определение|definition='''Количество разбиений числа на слагаемыеСочетания с повторениями'''(англ. ''combinations with repetitions'') — те же сочетания, только теперь даны <tex>n</tex> типов элементов, из которых нужно выбрать <tex>k</tex> элементов, причем элементов каждого типа неограниченное количество, и элементы одного типа должны стоять подряд друг за другом.}}В пример можно привести следующую задачу: имеется <tex>n</tex> пирожных. Сколько способов купить <tex>k</tex> пирожных?

Количество === Разбиение на неупорядоченные слагаемые ==={{Определение|definition=[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | '''Разбиение''' числа '''на неупорядоченные слагаемые''']] (англ. ''partition'') &mdash; представление числа <tex>n</tex> в виде суммы слагаемых.}}{{main|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые удовлетворяют рекуррентному соотношению:}}

=== Разбиение на подмножества ==={{Определение|definition=[[Числа Стирлинга второго рода | '''Разбиение''' множества <texmath>X</math> '''на подмножества''']] (англ. ''partition of a set'') — семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A(0}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, t) если:# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = 0\emptyset</texmath> для любых <math>\alpha, где ''t'' \beta \in A</math> 0,таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.}}{{main|Числа Стирлинга второго рода}}

== Число комбинаторных объектов =={| class="wikitable" border = 1|'''Тип объекта'''||'''Число объектов'''|-|Битовые векторы||<tex>2^{n}</tex>|-|Перестановки||<tex>P_n = n!</tex>|-|Перестановки с повторениями||<tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>|-|Размещения||<tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>|-|Размещения с повторениями||<tex>n^k</tex>|-|Сочетания||<tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>|-|Сочетания с повторениями||<tex dpi = "150">\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k - 1, )!}{k!(n - 1) !} = C^k_{n + k - 1}</tex>,|-|Разбиение на неупорядоченные слагаемые||[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | Нахождение количества разбиений числа на слагаемые]]|-|Разбиение на подмножества||[[Числа Стирлинга второго рода | Числа Стирлинга второго порядка]]|}

==Соответствующие доказательства=={{Теорема | id=1|statement=Число различных битовых векторов длины <tex>A(n, t) = A(n, t - 1) + A(</tex> равно <tex>2^{n - t, t)}</tex>, где первый параметр - это число, которое мы разбиваем, а второй - это максимальное слагаемое в разбиении.

'''Количество неупорядоченных разбиений ''|proof=Число битовых векторов {{---}} это частный случай [[#5 | размещения с повторениями]] <tex>2</tex> элементов по <tex>n</tex>. Таким образом, количество различных битовых векторов будет равно <tex>2^n''-элементного множества на ''k'' непустых подмножеств</tex>.'''}}

|proof=Перестановка {{---}} это частный случай [[#4 | размещения]] <tex>S(n, </tex> элементов по <tex>k</tex> при <tex>k = n) = 1</tex>. Таким образом, для ''количество различных перестановок будет равно <tex>n'' ≥ 0,!</tex>}}

{{Теорема | id=3|statement=Число различных перестановок с повторениями из <tex>k</tex>Sэлементов с <tex>n</tex> группами одинаковых элементов равно <tex>\overline{P_k} (nk_1, k_2, \ldots, 0k_n) = 0\frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>, для ''n'' где <tex>k_i</tex> {{---}} это количество одинаковых элементов в <tex>i</tex> 0,{{---}}ой группе.

|proof=Пусть нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве <tex>A</tex> из <tex>k</tex> элементов. Будем учитывать, что в этом множестве <tex>n</tex> групп одинаковых элементов. Количество перестановок из <tex>k</tex> элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые, будет равно <tex>k!</tex>. В каждой итоговой перестановке у нас будет несколько раз учитываться ситуации с одинаковыми элементами ровно столько раз, сколько можно получить перестановок из <tex>k_i</tex>. Таким образом количество перестановок с одинаковым первым элементом будет равно <tex>k_1!</tex>, для второго элемента {{---}} <tex>k_2!</tex>. Общее количество идентичных перестановок будет равно произведению данных факториалов. Итого одинаковых перестановок <tex>k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!</tex>. Ответом будем являться частное количества всех перестановок и количества одинаковых. Получаем, что итоговое количество равно <tex>\frac{k!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} </tex>}} {{Теорема | id=4|statement=Число различных размещений из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex> |proof= Доказательство по индукции. База <tex>k = 1</tex>, тогда количество размещений из <tex>n</tex> по <tex>1</tex> равно <tex>n</tex>. При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение из оставшегося множества, то есть <tex>S(n-1)</tex> элементов, по <tex>(k - 1)</tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>A_{n}^{k}=n \cdot A_{n-1}^{k-1}</tex>. Отсюда получаем <tex>A_{n}^{k} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = S\frac{n!}{(n - k)!}</tex>}} {{Теорема | id=5|statement=Число различных размещений с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\overline{A_n^k} = n^k</tex> |proof= Докажем по индукции. База: <tex>k = 1</tex>. Тогда <tex> \overline{A_n^1} = n</tex>. При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение с повторениями из того же самого множества, то есть из n элементов, по <tex>(k - 1) + </tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>\overline{A_n^k} = n \cdot \overline{A_{n}^{k-1}}</tex>. Отсюда получаем <tex>\overline{A_n^k }=n \cdot Sn \ldots = n^k </tex>}} {{Теорема | id=6|statement=Число различных сочетаний из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex> |proof= Всего размещений из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. В каждом размещении выбраны <tex>k</tex> элементов из данного множества. Если игнорировать порядок этих выбранных <tex>k</tex> элементов, мы получим некоторые сочетания из данного множества по <tex>k</tex>. Другими словами, размещение с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов задают одно и то же сочетание по <tex>k</tex> элементов. Так как размещения с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из <tex>k</tex> элементов равно <tex>k!</tex>, то итоговая формула будет равна <tex>C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>}} {{Теорема | id=7|statement=Число различных сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\overline{C^k_n} = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex> |proof= Рассмотрим двоичный вектор из <tex>(n+k-1)</tex> координат, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей и <tex>k</tex> единиц.  Будем считать нули разделителями, которые делят этот вектор на <tex>n</tex> частей. Тогда предположим, что число единиц в <tex>i</tex>{{---}}м блоке {{---}} это число элементов <tex>k_i</tex> в сочетании с повторением, которое соответствует этому вектору, где <tex>k_i</tex> {{---}} это элемент из изначального множества с номером i. Пример: Если у нас есть набор элементов 1 1 2 2 3, то <tex>k_2</tex> = 2. Получаем, что каждому сочетанию с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> соответствует некоторый вектор из нулей и единиц с <tex>(n+k-1)</tex> координатами, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей. Также наоборот, по каждому такому вектору однозначно восстанавливается сочетание с повторением, ему соответствующее. Значит, число сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> совпадает с числом таких векторов.  Таких векторов столько, сколько вариантов выбрать <tex>k</tex> координат, на которых должны стоять единицы из <tex>(n +k- 1)</tex>. Таким образом, ответом будет являться число сочетаний из <tex>(n+k-1)</tex> для 0 по < ''tex>k'' < ''/tex>. Тогда количество равно <tex> \overline{C_n^k} = C_{n''+k-1}^{k}</tex>}}  == См. также ==*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке | Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]*[[Получение следующего объекта | Получение следующего объекта]]*[[Получение номера по объекту | Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру | Получение объекта по номеру]] == Примечания ==<references/> == Источники информации ==* [http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/19-razmeshheniya-perestanovki-sochetaniya-s-povtoreniyami-formula-vklyucheniya-isklyucheniya/ Математика, которая мне нравится — Размещения, перестановки, сочетания с повторениями.Формула включения – исключения]