Редактирование: Компактный оператор

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Сопряженный оператор|<<]][[Базис Шаудера|>>]]
 
  
Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Множество называется '''относительно компактным''', если его замыкание компактно
+
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''',
}}
+
если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>
{{Определение
+
в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.  
|definition=
 
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.  
 
 
}}
 
}}
  
 +
 +
{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}
  
 
Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.
 
Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.
Строка 17: Строка 15:
  
 
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
 
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на  <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.
+
Пусть <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на  <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.
  
Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.
+
<tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.
  
Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.
+
<tex> A(x,t) \in C[0,1] </tex>. Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>
  
{{Утверждение
 
|statement=
 
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.
 
|proof=
 
 
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>
 
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>
  
<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
+
<tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
 
 
Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:
 
 
 
<tex> T \subset C[0,1]  </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
 
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
 
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
 
 
 
Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.
 
 
 
<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex>
 
 
 
<tex>\|Ax\| \le M</tex>
 
 
 
<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex>
 
 
 
<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.
 
 
 
Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.
 
 
 
Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
 
}}
 
  
 
== Критерий проверки компактности ==
 
== Критерий проверки компактности ==
  
Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.
 
 
Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
 
  
 
== Произведение компактных операторов ==
 
== Произведение компактных операторов ==
{{Утверждение
 
|statement =
 
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:
 
  
# Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> A </tex> ­— компактный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
+
{{TODO | t = к чему относиться следующий абзац??? }}
# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> A </tex> ­— ограниченный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
 
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.
 
  
Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.
+
<tex> T \subset C[0,1]  </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
 
+
# <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.
+
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
 
 
Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.
 
 
 
$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.
 
</wikitex>
 
}}
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|about=следствие
+
|statement =  
|statement=
 
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
 
|proof=
 
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
 
}}
 
  
== Компактность сопряженного оператора ==
+
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>  
{{Утверждение
 
|statement=
 
Если <tex>A: E \to F</tex> — компактный, то <tex>A^*: F^* \to E^*</tex> — тоже компактный.
 
|proof=
 
(Стырено у прошлого курса)
 
  
По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>.
+
<tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция).
  
1. Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>.
+
# Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> A </tex> ­— компактный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>.
+
# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> A </tex> ­— ограниченный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
  
2. Рассмотрим в <tex>E</tex> единичный замкнутый шар <tex>\overline{V}</tex>.
+
|proof =  
По компактности оператора <tex>K = Cl(A(\overline{V})) \subset F</tex> будет метрическим компактом.
+
{{TODO | t = доказательство }}}}
Рассмотрим ''сужение'' функционалов <tex>\phi_n</tex> на <tex>K</tex>.
 
 
 
3. Докажем [[равностепенная непрерывность|равностепенную непрерывность]] этой последовательности: рассмотрим <tex>y, z \in K</tex>.
 
Норма
 
:<tex>\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|</tex>
 
не зависит от <tex>n</tex>, а следовательно <tex>\{\phi_n\}</tex> равностепенно непрерывна.
 
 
 
4. Выполняется и ''равномерная ограниченность'' последовательности. Для любого <tex>y \in K</tex>:
 
:<tex>\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const</tex>.
 
 
 
5. Таким образом <tex>\{\phi_n\}</tex> равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> в <tex>K</tex>.
 
 
 
Для доказательства теоремы осталось показать, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. Для этого достаточно выяснить, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> равномерно сходится (при устремлении <tex>m</tex> к бесконечности) на <tex>\overline{V}</tex>.
 
 
 
6. Рассмотрим <tex>\varepsilon > 0</tex>. По равномерной сходимости <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> на <tex>K</tex>:
 
<tex>\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon</tex>.
 
  
7. Следовательно, для любого <tex>x \in \overline{V}</tex> верно <tex>\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon</tex>.
+
=== Следствие ===
Замечая, что <tex>\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)</tex>, приходим к равномерной сходимости <tex>A^*\phi_{n_m}</tex> на <tex>\overline{V}</tex>.
 
  
Таким образом, теорема доказана.
+
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он не может быть непрерывно обратимым.
}}
 
  
 +
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению,
 +
что невозможно в бесконечномерном случае.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement =  
 
|statement =  
Пусть <tex> A </tex> ­— компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
+
<tex> A </tex> ­— компактный <tex> \implies R(A) </tex> — сепарабельно, то есть в <tex> R(A) </tex> существует всюду плотное подмножество.
 
|proof =  
 
|proof =  
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \}  </tex> — счетное объединение шаров.
+
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = { x \mid \| x \| < b }  </tex> — счетное объединение шаров.
  
 
<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>
 
<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>
  
 
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
 
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
 
+
По теореме Хаусдорфа {{TODO | t = добавить ссылку на теорему Хаусдорфа}} любое относительно компактное множество сепарабельно.
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.  
 
 
 
 
Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
 
Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
 
}}
 
}}
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: