Изменения

Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> Множество называется '''относительно компактным''',если любое ограниченное множество в <tex> X </tex> <tex> A </tex> переводитв относительно компактное множество в <tex> Y </tex>. {{TODO|t = определение относительно компактного множества}}его замыкание компактно

Пусть <tex> K(ut, vs) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено : <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>. Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>. Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>. {{Утверждение|statement=Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.|proof=<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex> <tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex> Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>: <tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex># <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex># <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''. Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>. <tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex> <tex>\|Ax\| \le M</tex> <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex> <tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем. Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>. Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.}} == Критерий проверки компактности == Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен. Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть. == Произведение компактных операторов =={{Утверждение|statement = <tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда: # Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> A </tex> ­— компактный, то <tex> C </tex> ­— компактный.# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> A </tex> ­— ограниченный, то <tex> C </tex> ­— компактный.|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично. Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно. $A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$. Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$. $\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.</wikitex>}} {{Утверждение|about=следствие|statement=Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.|proof=От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.}} == Компактность сопряженного оператора =={{Утверждение|statement=Если <tex>A: E \to F</tex> — компактный, то <tex>A^*: F^* \to E^*</tex> — тоже компактный.|proof=(Стырено у прошлого курса) По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>. 1. Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>. Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. 2. Рассмотрим в <tex>E</tex> единичный замкнутый шар <tex>\overline{V}</tex>.По компактности оператора <tex>K = Cl(A(\overline{V})) \subset F</tex> будет метрическим компактом.Рассмотрим ''сужение'' функционалов <tex>\phi_n</tex> на <tex>K</tex>. 3. Докажем [[равностепенная непрерывность|равностепенную непрерывность]] этой последовательности: рассмотрим <tex>y, z \in K</tex>.Норма :<tex>\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|</tex>не зависит от <tex>n</tex>, а следовательно <tex>\{\phi_n\}</tex> равностепенно непрерывна. 4. Выполняется и ''равномерная ограниченность'' последовательности. Для любого <tex>y \in K</tex>::<tex>\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const</tex>. 5. Таким образом <tex>\{\phi_n\}</tex> равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> в <tex>K</tex>. Для доказательства теоремы осталось показать, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. Для этого достаточно выяснить, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> равномерно сходится (при устремлении <tex>m</tex> к бесконечности) на <tex>\overline{V}</tex>. 6. Рассмотрим <tex>\varepsilon > 0</tex>. По равномерной сходимости <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> на <tex>K</tex>:<tex>\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon</tex>. 7. Следовательно, для любого <tex>x \in \overline{V}</tex> верно <tex>\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon</tex>.Замечая, что <tex>\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)</tex>, приходим к равномерной сходимости <tex>A^*\phi_{n_m}</tex> на <tex>\overline{V}</tex>.  Таким образом, теорема доказана.}}  {{Утверждение|statement = Пусть <tex> A </tex> ­— компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).|proof = <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров. <tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex> <tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.

Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex> A(x,t) -сетей при <tex>\varepsilon = \intfrac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds infty</tex>счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.  Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, где значит <tex> xR(sA) \in C[0,1] </tex>— сепарабельно.}}

<tex> A(x,t) \in C[0,1[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] </tex>