64
правки
Изменения
→Компактность сопряженного оператора
[[Сопряженный оператор|<<]][[Базис Шаудера|>>]]
Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(ut, vs) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.
Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.
{{Утверждение
|statement=
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.
|proof=
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>
<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:
<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex> \exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
Рассмотрим <tex>V = \{{TODOx \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>. <tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex> <tex>\|Ax\| \le M</tex> <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| =дальше какой|\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex> <tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем. Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) -то трешK(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>. Таким образом, хотим показать<tex>|A(x, что t'') - A компактный(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, кажетсяполучили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.}}
== Критерий проверки компактности ==
Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен. {{TODO|t=чо?}}
Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
}}
== Компактность сопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>A: E \to F</tex> — компактный, то <tex>A^*: F^* \to E^*</tex> — тоже компактный.
|proof=
(Стырено у прошлого курса)
По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>.
1. Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>.
Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>.
2. Рассмотрим в <tex>E</tex> единичный замкнутый шар <tex>\overline{V}</tex>.
По компактности оператора <tex>K = Cl(A(\overline{V})) \subset F</tex> будет метрическим компактом.
Рассмотрим ''сужение'' функционалов <tex>\phi_n</tex> на <tex>K</tex>.
3. Докажем [[равностепенная непрерывность|равностепенную непрерывность]] этой последовательности: рассмотрим <tex>y, z \in K</tex>.
Норма
:<tex>\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|</tex>
не зависит от <tex>n</tex>, а следовательно <tex>\{\phi_n\}</tex> равностепенно непрерывна.
4. Выполняется и ''равномерная ограниченность'' последовательности. Для любого <tex>y \in K</tex>:
:<tex>\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const</tex>.
5. Таким образом <tex>\{\phi_n\}</tex> равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> в <tex>K</tex>.
Для доказательства теоремы осталось показать, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. Для этого достаточно выяснить, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> равномерно сходится (при устремлении <tex>m</tex> к бесконечности) на <tex>\overline{V}</tex>.
6. Рассмотрим <tex>\varepsilon > 0</tex>. По равномерной сходимости <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> на <tex>K</tex>:
<tex>\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon</tex>.
7. Следовательно, для любого <tex>x \in \overline{V}</tex> верно <tex>\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon</tex>.
Замечая, что <tex>\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)</tex>, приходим к равномерной сходимости <tex>A^*\phi_{n_m}</tex> на <tex>\overline{V}</tex>.
Таким образом, теорема доказана.
}}
{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный , тогда <tex> \implies R(A) </tex> — сепарабельно, (то есть , в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]] , можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon_{\frac{1}{n}}varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.
Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
