Конечная группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Таблицы умножения)
(Таблицы умножения для групп)
Строка 9: Строка 9:
  
  
== Таблицы умножения для групп ==
+
== Таблицы умножения для конечных групп ==
  
 
Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
 
Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Версия 05:05, 2 июля 2010

Эта статья требует доработки!
  1. Необходимо привести таблицы умножения всех конечных групп из не более шести элементов.(исправлено)

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).


Определение:
Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].


Таблицы умножения для конечных групп

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.


Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом образом:

* a1 a2 ... an
a1 a1a1 a1a2 ... a1an
a2 a2a1 a2a2 ... a2an
... ... ... ... ...
an ana1 ana2 ... anan

Свойства

1) Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы

2) Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна

3) Если главная диагональ заполнена нейтральными элементами, то операция коммутативна

4) Если у таблицы группы A и таблицы группы B расположение ячеек с нейтральными элементами не одинаково, то группа A не изоморфна группе B


Построение

Вследствие первого свойства, можно заполнить таблицу не имея всей информации об операции умножения. Если таблицу заполнить не удаётся(нарушается первое свойство - в ряде или колонке оказывается 2 одинаковых элемента), значит операции, удовлетворяющей данным соотношениям, не существует.


Алгоритм построения:

1) заполнить "скелет" таблицы - ячейки в которых стоит нейтральный элемент. "Скелет" симметричен относительно главной диагонали(если a - обратный к b, то b - обратный к a, то есть любой элемент коммутирует со своим обратным).

2) используя известные соотношения и свойство 1 заполнить таблицу.

Замечание: по соглашению в заголовках таблицы 1-ым идёт нейтральный элемент, затем элементы, которые совпадают с обратным, затем остальные.


Примеры

1) n = 1

* e
e e

2) n = 2

* e a
e e a
a a e

3) n = 3

* e a b
e e a b
a a b e
b b e a

4) n = 4

* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

5) n = 5

* e a b c d
e e a b c d
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c

6) n = 6

* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b f e
f f b c a e d