Конечная группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства)
(Свойства)
Строка 43: Строка 43:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы
 
|statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы
|proof=Пусть <tex>a,b,c,d \in G</tex>. Тогда <tex>a*b=d \enskip \& \enskip a*c=d \Rightarrow b=c</tex>. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.  
+
|proof=Пусть <tex>a,b,c,d \in G</tex>. Тогда <tex>ab=d \enskip \& \enskip ac=d \Rightarrow b=c</tex>. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.  
 
}}
 
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна
 
|statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна
|proof=Таблица симметрична <tex>\Rightarrow a*b = b*a</tex> для любых <tex>a,b \in G</tex>
+
|proof=Таблица симметрична <tex>\Rightarrow ab = ba</tex> для любых <tex>a,b \in G</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение

Версия 17:07, 4 августа 2010

Эта статья требует доработки!
  1. Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
  2. (исправлено)Надо убрать алгоритм построения.
  3. Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math], в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).


Определение:
Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].


Таблицы умножения для конечных групп

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.


Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

* a1 a2 ... an
a1 a1a1 a1a2 ... a1an
a2 a2a1 a2a2 ... a2an
... ... ... ... ...
an ana1 ana2 ... anan

Свойства

Утверждение:
Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]a,b,c,d \in G[/math]. Тогда [math]ab=d \enskip \& \enskip ac=d \Rightarrow b=c[/math]. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна
[math]\triangleright[/math]
Таблица симметрична [math]\Rightarrow ab = ba[/math] для любых [math]a,b \in G[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]
[math]\triangleright[/math]
темп
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
В простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы
[math]\triangleright[/math]
темп
[math]\triangleleft[/math]

Примеры таблиц умножения для конечных групп

1) n = 1

* e
e e

2) n = 2

* e a
e e a
a a e

3) n = 3

* e a b
e e a b
a a b e
b b e a

4) n = 4

* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
* e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a

5) n = 5

* e a b c d
e e a b c d
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c

6) n = 6

* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c d f e a
c c b f d a e
d d f e a b c
f f d a e c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c d f b
b b c d f e a
c c b f e a d
d d f e a b c
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c d f a e
c c b f d e a
d d f a e b c
f f d e a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c f b d
b b c f d a e
c c b d e f a
d d f a b e c
f f d e a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d b f c
b b c e f a d
c c b f d e a
d d f a e c b
f f d c a b e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f c b
b b c e a f d
c c b f d a e
d d f a b e c
f f d c e b a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b c e d f a
c c b f e a d
d d f a b c e
f f d c a e b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f c b
b b c e d f a
c c b f e a d
d d f a b e c
f f d c a b e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b c f e a d
c c b e d f a
d d f a b c e
f f d c a e b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f c b
b b c f e a d
c c b e d f a
d d f a b e c
f f d c a b e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f e a b
d d f c a b e
f f c d b e a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f e b a
d d f c a e b
f f c d b a e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f a e b
d d f c e b a
f f c d b a e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f a b e
d d f c b e a
f f c d e a b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c e f d
b b c d f e a
c c e f d a b
d d f e a b c
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c e f d
b b c d f a e
c c e f d b a
d d f a b e c
f f d e a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b d e f c
b b c e f a d
c c e f d b a
d d f a b c e
f f d c a e b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b d e f c
b b c e f a d
c c e f d b a
d d f c a e b
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c e f a d
c c d f e b a
d d f a b e c
f f e d a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c e f a d
c c d f a e b
d d f a e b c
f f e d b c a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c a f e d
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e d b c a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c f e a d
c c d e f b a
d d f a b e c
f f e d a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c e d f a
c c f d e a b
d d e f a b c
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c e d f a
c c f d a b e
d d e f b a c
f f d a e c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c a d f e
c c f d e a b
d d e f a b c
f f d e b c a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c d e f a
c c f e d a b
d d e f a b c
f f d a b c e