Бюрократы, editor, Администраторы
422
правки
Изменения
→Свойства
{{Определение
|definition=
[[группа|Группа]] называется '''конечной''', если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы <tex>G</tex> называют порядком группы и обозначают <tex>\vert G\vert</tex>.
}}
== Таблицы умножения для конечных групп ==
Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
=== Структура ===
Пусть <tex>\mathbb{A}_n = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}</tex> — группа из <tex>n</tex> элементов.
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
{| border="2" cellpadding="8" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
!style="background:#efefef;"| <big>a<sub>1</sub></big>
!style="background:#efefef;"| <big>a<sub>2</sub></big>
!style="background:#efefef;"| <big>...</big>
!style="background:#efefef;"| <big>a<sub>n</sub></big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a<sub>1</sub></big>
| <big>a<sub>1</sub>a<sub>1</sub></big> || <big>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub></big> || <big>...</big> || <big>a<sub>1</sub>a<sub>n</sub></big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a<sub>2</sub>
| <big>a<sub>2</sub>a<sub>1</sub></big> || <big>a<sub>2</sub>a<sub>2</sub></big> || <big>...</big> || <big>a<sub>2</sub>a<sub>n</sub></big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>...
| <big>...</big> || <big>...</big> || <big>...</big> || <big>...</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a<sub>n</sub>
| <big>a<sub>n</sub>a<sub>1</sub></big> || <big>a<sub>n</sub>a<sub>2</sub></big> || <big>...</big> || <big>a<sub>n</sub>a<sub>n</sub></big>
|}
=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.
|proof=Пусть <tex>a,b,c,d \in G</tex>. Тогда <tex>ab=d</tex> и <tex>ac=d \Rightarrow b=c</tex>. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.
}}
{{Утверждение
|statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.
|proof=Таблица симметрична <tex>\Rightarrow ab = ba</tex> для любых <tex>a,b \in G</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.
|proof=
Рассмотрим элемент <tex>x\in G</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — в противном случае при <tex>x^k=x^m (m<k<n)\Rightarrow x^{k—m}=e</tex>, т.е. <tex>n>k—m</tex> не является порядком элемента <tex>x</tex>). Легко проверить, что <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>. По [[Теорема Лагранжа|теореме Лагранжа]] порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и <tex>n</tex> делит порядок <tex>G</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=Все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>.
|proof=
Рассмотрим элемент <tex>x\in G,\,x\neq e</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — см. выше). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но тогда <tex>n</tex> делит <tex>p</tex>(как порядок подгруппы) и не равняется единице(<tex>x^1\neq e</tex>), значит <tex>n=p</tex>. Раз порядок конечной подгруппы <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G</tex> совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G</tex>.
}}
=== Примеры таблиц умножения для конечных групп ===
Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:
* <tex>|G| = 1</tex>
Тривиальная группа
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
| <big>e</big>
|}
* <tex>|G| = 2</tex>
Группа вычетов по модулю два относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>0</big> || <big>1</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>1</big> || <big>0</big>
|}
* <tex>|G| = 3</tex>
Группа вычетов по модулю три относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>1</big> || <big>2</big> || <big>0</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>2</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
|}
* <tex>|G| = 4</tex>
Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>1</big> || <big>0</big> || <big>3</big> || <big>2</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>2</big> || <big>3</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
| <big>3</big> || <big>2</big> || <big>1</big> || <big>0</big>
|}
Группа <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>(0,0)</big>
!style="background:#efefef;"| <big>(0,1)</big>
!style="background:#efefef;"| <big>(1,0)</big>
!style="background:#efefef;"| <big>(1,1)</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>(0,0)</big>
| <big>(0,0)</big> || <big>(0,1)</big> || <big>(1,0)</big> || <big>(1,1)</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>(0,1)</big>
| <big>(0,1)</big> || <big>(0,0)</big> || <big>(1,1)</big> || <big>(1,0)</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>(1,0)</big>
| <big>(1,0)</big> || <big>(1,1)</big> || <big>(0,0)</big> || <big>(0,1)</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>(1,1)</big>
| <big>(1,1)</big> || <big>(1,0)</big> || <big>(0,1)</big> || <big>(0,0)</big>
|}
* <tex>|G| = 5</tex>
Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>0</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
| <big>3</big> || <big>4</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
| <big>4</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big>
|}
* <tex>|G| = 6</tex>
Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
!style="background:#efefef;"| <big>5</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
| <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
| <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>5</big>
| <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big>
|}
Группа перестановок множества из трех элементов: <tex>\mathbb{S}_3</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>b</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
| <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
| <big>b</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>aa</big> || <big>a</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>aa</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
| <big>d</big> || <big>c</big> || <big>b</big> || <big>aa</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
|}
Для группы <tex>\mathbb{S}_3</tex> <tex>a</tex> — это циклическая перестановка <tex>(123)\rightarrow(231)</tex>, а <tex>b,\,c,\,d</tex> — транспозиции <tex>(123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)</tex> соответственно.
[[Категория: Теория групп]]
