Изменения

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

 '''=== Структура'''===Пусть <mathtex>\mathbb{A}_n</math> = <math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}</mathtex> - — группа из <tex>n </tex> элементов.

'''=== Свойства'''==={{Утверждение1) |statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.|proof=Пусть <tex>a,b,c,d \in G</tex>. Тогда <tex>ab=d</tex> и <tex>ac=d \Rightarrow b=c</tex>. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз. }}{{Утверждение2) |statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.|proof=Таблица симметрична <tex>\Rightarrow ab = ba</tex> для любых <tex>a,b \in G</tex>}}'''Построение'''{{Утверждение|statement=В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.|proof=Вследствие первого свойстваРассмотрим элемент <tex>x\in G</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\, можно заполнить таблицу не имея всей информации об операции умножения. Если таблицу заполнить не удаётся..,x^{n-1}\rbrace</tex> (нарушается первое свойство - все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — в ряде или колонке оказывается 2 одинаковых противном случае при <tex>x^k=x^m (m<k<n)\Rightarrow x^{k—m}=e</tex>, т.е. <tex>n>k—m</tex> не является порядком элемента<tex>x</tex>). Легко проверить, значит операциичто <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>. По [[Теорема Лагранжа|теореме Лагранжа]] порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, удовлетворяющей данным соотношениям, не существуети <tex>n</tex> делит порядок <tex>G</tex>.}}{{Утверждение''Алгоритм построения'':|statement=Все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>.|proof=Рассмотрим элемент <tex>x\in G,\,x\neq e</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — см. выше) заполнить "скелет" таблицы - ячейки в которых стоит нейтральный элемент. "Скелет" симметричен относительно главной диагонали(если a - обратный к bОчевидно, то b - обратный к a<tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, то есть любой элемент коммутирует со своим обратным)изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. 2Но тогда <tex>n</tex> делит <tex>p</tex>(как порядок подгруппы) используя известные соотношения и свойство не равняется единице(<tex>x^1 заполнить таблицу\neq e</tex>), значит <tex>n=p</tex>.Раз порядок конечной подгруппы <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G</tex> совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G</tex>.}}

''Замечание''=== Примеры таблиц умножения для конечных групп ===Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно: по соглашению в заголовках таблицы 1-ым идёт нейтральный элемент, затем элементы, которые совпадают с обратным, затем остальные.

 '''Примеры''' 1) n * <tex>|G| = 1</tex>Тривиальная группа

* <tex>|G| = 2) n = </tex>Группа вычетов по модулю два относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e0</big>| <big>e0</big> || <big>a1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a1</big>| <big>a1</big> || <big>e0</big>

* <tex>|G| = 3) n = </tex>Группа вычетов по модулю три относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e0</big>| <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a1</big>| <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>e0</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b2</big>| <big>b2</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big>

* <tex>|G| = 4) n = </tex>Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big> !style="background:#efefef;"| <big>c3</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e0</big>| <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>c3</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a1</big>| <big>a1</big> || <big>e0</big> || <big>c3</big> || <big>b2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b2</big>| <big>b2</big> || <big>c3</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c3</big>| <big>c3</big> || <big>b2</big> || <big>a1</big> || <big>e0</big>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e(0,0)</big> !style="background:#efefef;"| <big>a(0,1)</big> !style="background:#efefef;"| <big>b(1,0)</big> !style="background:#efefef;"| <big>c(1,1)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e(0,0)</big>| <big>e(0,0)</big> || <big>a(0,1)</big> || <big>b(1,0)</big> || <big>c(1,1)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a(0,1)</big>| <big>a(0,1)</big> || <big>b(0,0)</big> || <big>c(1,1)</big> || <big>e(1,0)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b(1,0)</big>| <big>b(1,0)</big> || <big>c(1,1)</big> || <big>e(0,0)</big> || <big>a(0,1)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c(1,1)</big>| <big>c(1,1)</big> || <big>e(1,0)</big> || <big>a(0,1)</big> || <big>b(0,0)</big>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big> !style="background:#efefef;"| <big>c3</big> !style="background:#efefef;"| <big>4</big> |-!style="background:#efefef;"| <big>0</big>| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e1</big>| <big>e1</big> || <big>a2</big> || <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>0</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a2</big>| <big>a2</big> || <big>e3</big> || <big>c4</big> || <big>b0</big> || <big>1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b3</big>| <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>a0</big> || <big>e1</big> || <big>2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c4</big>| <big>c4</big> || <big>b0</big> || <big>e1</big> || <big>a2</big> || <big>3</big>

5) n * <tex>|G| = 56</tex>Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big> !style="background:#efefef;"| <big>c3</big> !style="background:#efefef;"| <big>d4</big>!style="background:#efefef;"| <big>5</big>|-!style="background:#efefef;"| <big>0</big>| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e1</big>| <big>e1</big> || <big>a2</big> || <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>0</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a2</big>| <big>a2</big> || <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b3</big>| <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c4</big>| <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>3</big>

!style="background:#efefef;"| <big>d5</big>| <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>c3</big> || <big>4</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e</big> !style="background:#efefef;"| <big>a</big> !style="background:#efefef;"| <big>baa</big> !style="background:#efefef;"| <big>cb</big> !style="background:#efefef;"| <big>dc</big> !style="background:#efefef;"| <big>fd</big>

| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>baa</big> || <big>cb</big> || <big>dc</big> || <big>fd</big>

| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>fb</big> |-!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>| <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>c</big>

| <big>b</big> || <big>fd</big> || <big>ec</big> || <big>de</big> || <big>caa</big> || <big>a</big>

| <big>c</big> || <big>db</big> || <big>fd</big> || <big>ea</big> || <big>ae</big> || <big>baa</big>

| <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>e</big>|-!style="background:#efefef;"| <big>f</big>| <big>f</big> || <big>b</big> || <big>caa</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big>