Конечная группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства)
 
(не показано 12 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
 
|item1=Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
 
|item2=Надо убрать алгоритм построения.
 
|item3=Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>, в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 12: Строка 6:
 
== Таблицы умножения для конечных групп ==
 
== Таблицы умножения для конечных групп ==
  
Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
+
Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
  
 
+
=== Структура ===
'''Структура'''
+
Пусть <tex>\mathbb{A}_n = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}</tex> группа из <tex>n</tex> элементов.
 
 
Пусть <math>\mathbb{A}_n</math> = <math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}</math> - группа из n элементов.
 
  
 
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
 
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
Строка 40: Строка 32:
 
|}
 
|}
  
'''Свойства'''
+
=== Свойства ===
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.
 +
|proof=Пусть <tex>a,b,c,d \in G</tex>. Тогда <tex>ab=d</tex> и <tex>ac=d \Rightarrow b=c</tex>. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.
 +
|proof=Таблица симметрична <tex>\Rightarrow ab = ba</tex> для любых <tex>a,b \in G</tex>
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement=В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.
 +
|proof=
 +
Рассмотрим элемент <tex>x\in G</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — в противном случае при <tex>x^k=x^m (m<k<n)\Rightarrow x^{k—m}=e</tex>, т.е. <tex>n>k—m</tex> не является порядком элемента <tex>x</tex>). Легко проверить, что <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>. По [[Теорема Лагранжа|теореме Лагранжа]] порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и <tex>n</tex> делит порядок <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>.
 +
|proof=
 +
Рассмотрим элемент <tex>x\in G,\,x\neq e</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — см. выше). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но тогда <tex>n</tex> делит <tex>p</tex>(как порядок подгруппы) и не равняется единице(<tex>x^1\neq e</tex>), значит <tex>n=p</tex>. Раз порядок конечной подгруппы <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G</tex> совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G</tex>.
 +
}}
  
1) Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы
+
=== Примеры таблиц умножения для конечных групп ===
 
+
Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:
2) Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна
 
  
 
+
* <tex>|G| = 1</tex>
'''Построение'''
+
Тривиальная группа
 
 
Вследствие первого свойства, можно заполнить таблицу не имея всей информации об операции умножения. Если таблицу заполнить не удаётся(нарушается первое свойство - в ряде или колонке оказывается 2 одинаковых элемента), значит операции, удовлетворяющей данным соотношениям, не существует.
 
 
 
 
 
''Алгоритм построения'':
 
 
 
1) заполнить "скелет" таблицы - ячейки в которых стоит нейтральный элемент. "Скелет" симметричен относительно главной диагонали(если a - обратный к b, то b - обратный к a, то есть любой элемент коммутирует со своим обратным).
 
 
 
2) используя известные соотношения и свойство 1 заполнить таблицу.
 
 
 
''Замечание'': по соглашению в заголовках таблицы 1-ым идёт нейтральный элемент, затем элементы, которые совпадают с обратным, затем остальные.
 
 
 
=== Примеры таблиц умножения для конечных групп ===
 
1) n = 1
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| *
Строка 70: Строка 65:
 
|}
 
|}
  
2) n = 2
+
* <tex>|G| = 2</tex>
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
+
Группа вычетов по модулю два относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>  
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
3) n = 3
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|}
 
 
 
4) n = 4
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|}
 
5) n = 5
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|}
 
 
 
6) n = 6
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
+
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>0</big> || <big>1</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>b</big> || <big>d</big>
+
| <big>1</big> || <big>0</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>c</big> || <big>b</big>  
 
 
|}
 
|}
  
 +
* <tex>|G| = 3</tex>
 +
Группа вычетов по модулю три относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
+
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
+
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>1</big> || <big>2</big> || <big>0</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
+
| <big>2</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>f</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>a</big>  
 
 
|}
 
|}
  
 +
* <tex>|G| = 4</tex>
 +
Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</tex>
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
+
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>b</big> || <big>c</big>  
+
| <big>1</big> || <big>0</big> || <big>3</big> || <big>2</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big>  
+
| <big>2</big> || <big>3</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
+
| <big>3</big> || <big>2</big> || <big>1</big> || <big>0</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>  
 
 
|}
 
|}
  
 +
Группа <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
+
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(0,0)</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(0,1)</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(1,0)</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(1,1)</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(0,0)</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>(0,0)</big> || <big>(0,1)</big> || <big>(1,0)</big> || <big>(1,1)</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(0,1)</big>
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
+
| <big>(0,1)</big> || <big>(0,0)</big> || <big>(1,1)</big> || <big>(1,0)</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big>  
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(1,0)</big>
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big>  
+
| <big>(1,0)</big> || <big>(1,1)</big> || <big>(0,0)</big> || <big>(0,1)</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>(1,1)</big>
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>
+
| <big>(1,1)</big> || <big>(1,0)</big> || <big>(0,1)</big> || <big>(0,0)</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>  
 
 
|}
 
|}
  
 +
* <tex>|G| = 5</tex>
 +
Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}</tex>
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
+
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>  
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
+
| <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>0</big>
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big>  
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big>  
+
| <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>0</big> || <big>1</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>  
+
| <big>3</big> || <big>4</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>  
+
| <big>4</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big>
 
|}
 
|}
  
 +
* <tex>|G| = 6</tex>
 +
Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</tex>
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
+
!style="background:#efefef;"| +
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>5</big>
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>0</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big>  
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>1</big>
| <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>b</big>  
+
| <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big>  
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>2</big>
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big>  
+
| <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big>  
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>3</big>
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big>  
+
| <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big>  
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>4</big>
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>  
+
| <big>4</big> || <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big>  
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>5</big>
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>  
+
| <big>5</big> || <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big>  
 
|}
 
|}
  
 +
Группа перестановок множества из трех элементов: <tex>\mathbb{S}_3</tex>
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 +
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>  
+
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big>  
 
|-
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big>
+
| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>b</big>  
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
 
|-
 
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
+
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
+
| <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>c</big>  
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big>  
 
 
|-
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
| <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big>  
+
| <big>b</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>aa</big> || <big>a</big>  
 
|-
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>a</big>  
+
| <big>c</big> || <big>b</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>aa</big>  
 
|-
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>
+
| <big>d</big> || <big>c</big> || <big>b</big> || <big>aa</big> || <big>a</big> || <big>e</big>  
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>a</big> || <big>e</big>  
 
 
|}
 
|}
  
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
+
Для группы <tex>\mathbb{S}_3</tex> <tex>a</tex> — это циклическая перестановка <tex>(123)\rightarrow(231)</tex>, а <tex>b,\,c,\,d</tex> — транспозиции <tex>(123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)</tex> соответственно.
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>d</big>  
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>a</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>a</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>b</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>b</big> || <big>a</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>b</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>d</big> || <big>f</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>a</big>
 
|}
 
 
 
{| border="1" cellpadding="4" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>f</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
| <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
| <big>b</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>c</big>
 
| <big>c</big> || <big>f</big> || <big>e</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>d</big>
 
| <big>d</big> || <big>e</big> || <big>f</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>f</big>
 
| <big>f</big> || <big>d</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>c</big> || <big>e</big>
 
|}
 
 
 
 
 
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:17, 24 июня 2013

Определение:
Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].


Таблицы умножения для конечных групп[править]

Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура[править]

Пусть [math]\mathbb{A}_n = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] — группа из [math]n[/math] элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

* a1 a2 ... an
a1 a1a1 a1a2 ... a1an
a2 a2a1 a2a2 ... a2an
... ... ... ... ...
an ana1 ana2 ... anan

Свойства[править]

Утверждение:
Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]a,b,c,d \in G[/math]. Тогда [math]ab=d[/math] и [math]ac=d \Rightarrow b=c[/math]. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.
[math]\triangleright[/math]
Таблица симметрична [math]\Rightarrow ab = ba[/math] для любых [math]a,b \in G[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим элемент [math]x\in G[/math] c порядком [math]n[/math] и подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace[/math] (все [math]x^k[/math] различны при [math]k\lt n[/math] — в противном случае при [math]x^k=x^m (m\lt k\lt n)\Rightarrow x^{k—m}=e[/math], т.е. [math]n\gt k—m[/math] не является порядком элемента [math]x[/math]). Легко проверить, что [math]\langle x\rangle[/math] — подгруппа [math]G[/math]. По теореме Лагранжа порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и [math]n[/math] делит порядок [math]G[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math].
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим элемент [math]x\in G,\,x\neq e[/math] c порядком [math]n[/math] и подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace[/math] (все [math]x^k[/math] различны при [math]k\lt n[/math] — см. выше). Очевидно, [math]\langle x\rangle[/math] — подгруппа [math]G[/math], изоморфная [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]. Но тогда [math]n[/math] делит [math]p[/math](как порядок подгруппы) и не равняется единице([math]x^1\neq e[/math]), значит [math]n=p[/math]. Раз порядок конечной подгруппы [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G[/math] совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры таблиц умножения для конечных групп[править]

Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:

  • [math]|G| = 1[/math]

Тривиальная группа

* e
e e
  • [math]|G| = 2[/math]

Группа вычетов по модулю два относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
  • [math]|G| = 3[/math]

Группа вычетов по модулю три относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
  • [math]|G| = 4[/math]

Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0

Группа [math]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/math]

+ (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
(0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
(0,1) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0)
(1,0) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1)
(1,1) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
  • [math]|G| = 5[/math]

Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
  • [math]|G| = 6[/math]

Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

Группа перестановок множества из трех элементов: [math]\mathbb{S}_3[/math]

* e a aa b c d
e e a aa b c d
a a aa e c d b
aa aa e a d b c
b b d c e aa a
c c b d a e aa
d d c b aa a e

Для группы [math]\mathbb{S}_3[/math] [math]a[/math] — это циклическая перестановка [math](123)\rightarrow(231)[/math], а [math]b,\,c,\,d[/math] — транспозиции [math](123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)[/math] соответственно.