Конечная группа

Материал из Викиконспекты
Версия от 22:43, 3 августа 2010; 192.168.0.2 (обсуждение) (Таблицы умножения для конечных групп)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья требует доработки!
  1. Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
  2. Надо убрать алгоритм построения.
  3. Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math], в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).


Определение:
Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].


Таблицы умножения для конечных групп

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.


Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

* a1 a2 ... an
a1 a1a1 a1a2 ... a1an
a2 a2a1 a2a2 ... a2an
... ... ... ... ...
an ana1 ana2 ... anan

Свойства

1) Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы

2) Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна


Примеры таблиц умножения для конечных групп

1) n = 1

* e
e e

2) n = 2

* e a
e e a
a a e

3) n = 3

* e a b
e e a b
a a b e
b b e a

4) n = 4

* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
* e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a

5) n = 5

* e a b c d
e e a b c d
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c

6) n = 6

* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c d f e a
c c b f d a e
d d f e a b c
f f d a e c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c d f b
b b c d f e a
c c b f e a d
d d f e a b c
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c d f a e
c c b f d e a
d d f a e b c
f f d e a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e c f b d
b b c f d a e
c c b d e f a
d d f a b e c
f f d e a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d b f c
b b c e f a d
c c b f d e a
d d f a e c b
f f d c a b e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f c b
b b c e a f d
c c b f d a e
d d f a b e c
f f d c e b a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b c e d f a
c c b f e a d
d d f a b c e
f f d c a e b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f c b
b b c e d f a
c c b f e a d
d d f a b e c
f f d c a b e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b c f e a d
c c b e d f a
d d f a b c e
f f d c a e b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f c b
b b c f e a d
c c b e d f a
d d f a b e c
f f d c a b e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f e a b
d d f c a b e
f f c d b e a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f e b a
d d f c a e b
f f c d b a e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f a e b
d d f c e b a
f f c d b a e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e d f c
b b e a f c d
c c d f a b e
d d f c b e a
f f c d e a b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c e f d
b b c d f e a
c c e f d a b
d d f e a b c
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c e f d
b b c d f a e
c c e f d b a
d d f a b e c
f f d e a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b d e f c
b b c e f a d
c c e f d b a
d d f a b c e
f f d c a e b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b d e f c
b b c e f a d
c c e f d b a
d d f c a e b
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c e f a d
c c d f e b a
d d f a b e c
f f e d a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c e f a d
c c d f a e b
d d f a e b c
f f e d b c a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c a f e d
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e d b c a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c f e a d
c c d e f b a
d d f a b e c
f f e d a c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c e d f a
c c f d e a b
d d e f a b c
f f d a b c e
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c e d f a
c c f d a b e
d d e f b a c
f f d a e c b
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c a d f e
c c f d e a b
d d e f a b c
f f d e b c a
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b c f e d
b b c d e f a
c c f e d a b
d d e f a b c
f f d a b c e