Конечная группа

Материал из Викиконспекты
Версия от 19:17, 24 июня 2013; Kirelagin (обсуждение | вклад) (Свойства)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].


Таблицы умножения для конечных групп[править]

Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура[править]

Пусть [math]\mathbb{A}_n = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] — группа из [math]n[/math] элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

* a1 a2 ... an
a1 a1a1 a1a2 ... a1an
a2 a2a1 a2a2 ... a2an
... ... ... ... ...
an ana1 ana2 ... anan

Свойства[править]

Утверждение:
Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]a,b,c,d \in G[/math]. Тогда [math]ab=d[/math] и [math]ac=d \Rightarrow b=c[/math]. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.
[math]\triangleright[/math]
Таблица симметрична [math]\Rightarrow ab = ba[/math] для любых [math]a,b \in G[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим элемент [math]x\in G[/math] c порядком [math]n[/math] и подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace[/math] (все [math]x^k[/math] различны при [math]k\lt n[/math] — в противном случае при [math]x^k=x^m (m\lt k\lt n)\Rightarrow x^{k—m}=e[/math], т.е. [math]n\gt k—m[/math] не является порядком элемента [math]x[/math]). Легко проверить, что [math]\langle x\rangle[/math] — подгруппа [math]G[/math]. По теореме Лагранжа порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и [math]n[/math] делит порядок [math]G[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math].
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим элемент [math]x\in G,\,x\neq e[/math] c порядком [math]n[/math] и подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace[/math] (все [math]x^k[/math] различны при [math]k\lt n[/math] — см. выше). Очевидно, [math]\langle x\rangle[/math] — подгруппа [math]G[/math], изоморфная [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]. Но тогда [math]n[/math] делит [math]p[/math](как порядок подгруппы) и не равняется единице([math]x^1\neq e[/math]), значит [math]n=p[/math]. Раз порядок конечной подгруппы [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G[/math] совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры таблиц умножения для конечных групп[править]

Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:

  • [math]|G| = 1[/math]

Тривиальная группа

* e
e e
  • [math]|G| = 2[/math]

Группа вычетов по модулю два относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
  • [math]|G| = 3[/math]

Группа вычетов по модулю три относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
  • [math]|G| = 4[/math]

Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0

Группа [math]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/math]

+ (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
(0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
(0,1) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0)
(1,0) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1)
(1,1) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
  • [math]|G| = 5[/math]

Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
  • [math]|G| = 6[/math]

Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/math]

+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

Группа перестановок множества из трех элементов: [math]\mathbb{S}_3[/math]

* e a aa b c d
e e a aa b c d
a a aa e c d b
aa aa e a d b c
b b d c e aa a
c c b d a e aa
d d c b aa a e

Для группы [math]\mathbb{S}_3[/math] [math]a[/math] — это циклическая перестановка [math](123)\rightarrow(231)[/math], а [math]b,\,c,\,d[/math] — транспозиции [math](123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)[/math] соответственно.