Конечно порождённая группа

Определение:

Пусть [math]S[/math] — подмножество элементов группы [math]G[/math]. Обозначим через [math]\langle S\rangle[/math] наименьшую подгруппу, содержащую [math]S[/math]. Ею является множество всех возможных произведений элементов [math]S[/math] и их обратных. Если [math]\langle S\rangle = G[/math], то говорят, что [math]S[/math] является системой образующих для [math]G[/math]. [math]G[/math] называется конечно порожденной, если у нее есть конечная система образующих.

Примеры

• Любая циклическая группа является конечно порожденной. Множество [math]S[/math] в этом случае состоит из одного элемента.
• Группа целых чисел по сложению является конечно порожденной: [math]\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle[/math].
• Группа перестановок множества из трех элементов: [math]S_3 = \langle (12), (13) \rangle[/math].
• Группа рациональных чисел по сложению — не конечно порожденная.