Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(+MSet_v_2)
Строка 3: Строка 3:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex>S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из элементов <tex>A</tex>, <tex>W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{m}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex>\{1 \ldots m\}</tex>. Тогда '''количество последовательностей''' веса <tex>n</tex> можно вычислить как <tex>S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}</tex>.
+
Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{m}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">\{1 \ldots m\}</tex>. Тогда '''количество последовательностей''' веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как:
 +
 
 +
<tex dpi="150">S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}</tex>.
 
}}
 
}}
  
===Подсчет битовых векторов длины <tex>n</tex>===
+
===Подсчет битовых векторов длины <tex dpi="150">n</tex>===
Пусть <tex>A=\{0, 1\}</tex>, <tex>W=\{2, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex>S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех [[Комбинаторные объекты#Битовые вектора|битовых векторов]]. Тогда <tex>S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}=2S_{n-1}=2^{n}</tex>.
+
Пусть <tex dpi="130">A=\{0, 1\}</tex>, <tex dpi="130">W=\{2, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех [[Комбинаторные объекты#Битовые вектора|битовых векторов]].
 +
 
 +
Тогда, <tex dpi="150">S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}=2S_{n-1}=2^{n}</tex>.
  
 
===Подсчет Seq из маленьких и больших элементов===
 
===Подсчет Seq из маленьких и больших элементов===
Пусть <tex>A=\{1, 2\}</tex>, <tex>W=\{1, 1, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex>S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из маленьких и больших элементов <tex>S=Seq(A)</tex>. Тогда <tex>S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}=S_{n-1}+S_{n-2}=F_{n}</tex>, где <tex>F_{n}</tex> {{---}} <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи <ref>[[wikipedia:Fibonacci number|Wikipedia {{---}} Числа Фибоначчи]]</ref>.
+
Пусть <tex dpi="130">A=\{1, 2\}</tex>, <tex dpi="130">W=\{1, 1, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из маленьких и больших элементов <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex>.  
 +
 
 +
Тогда, <tex dpi="150">S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}=S_{n-1}+S_{n-2}=F_{n}</tex>, где <tex dpi="150">F_{n}</tex> {{---}} <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи <ref>[[wikipedia:Fibonacci number|Wikipedia {{---}} Числа Фибоначчи]]</ref>.
  
 
===Подсчет подвешенных непомеченных деревьев с порядком на детях===
 
===Подсчет подвешенных непомеченных деревьев с порядком на детях===
Пусть <tex>T_{n}</tex> {{---}} количество деревьев с <tex>n</tex> вершинами, <tex>T_{0} = 1</tex>. <tex>S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из деревьев. <tex>S_{n}</tex> {{---}} количество последовательностей с суммарным количество вершин <tex>n</tex>. Чтобы получить дерево из <tex>n</tex> вершин достаточно взять <tex>1</tex> вершину и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин <tex>n-1</tex>. Тогда <tex>S_{n}=\sum_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-1}=C_{n}</tex>, где <tex>C_{n}</tex> {{---}} <tex>n</tex>-ое [[Числа Каталана|число Каталана]], а <tex>T_{n}=S_{n-1}</tex>.
+
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами, <tex dpi="130">T_{0} = 1</tex>. <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из данных деревьев. <tex dpi="130">S_{n}</tex> {{---}} количество последовательностей с суммарным количество вершин <tex dpi="130">n</tex>. Чтобы получить дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
 +
:<tex dpi="150">T_{n}=S_{n-1}</tex>.
 +
:<tex dpi="150">S_{n}=\sum_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-1}=C_{n}</tex>, где <tex dpi="150">C_{n}</tex> {{---}} <tex dpi="150">n</tex>-ое [[Числа Каталана|число Каталана]]
  
[[File:Ordered_Rooted_Trees.png|800px]]
+
[[File:Ordered_Rooted_Trees.png|700px]]
  
 
==Множества==
 
==Множества==
Строка 21: Строка 29:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex>S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств объектов, составленных из элементов <tex>A</tex>, <tex>W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex>\{1 \ldots k\}</tex>, составленных из элементов <tex>A</tex>, <tex>w_{0} = 1</tex>. Тогда '''количество множеств''' из объектов суммарного веса <tex>n</tex> можно вычислить как <tex dpi="130">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex dpi="130">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}}{i} s_{n-ik, k-1}</tex> {{---}} количество таких множеств, что они содержат объекты суммарного веса <tex>\leqslant k</tex>.
+
Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex dpi="130">S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств объектов, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">\{1 \ldots k\}</tex>, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">w_{0} = 1</tex>. Тогда '''количество множеств''' из объектов суммарного веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как <tex dpi="150">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex dpi="150">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}}{i} s_{n-ik, k-1}</tex> {{---}} количество таких множеств, что они содержат объекты суммарного веса <tex dpi="130">\leqslant k</tex>.
 
}}
 
}}
  
===Количество PSetиз элементов <tex>0</tex> или <tex>1</tex>===
+
===Количество PSet из элементов <tex>0</tex> или <tex>1</tex>===
Пусть <tex>A={0, 1}</tex>, <tex>S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств из <tex>A</tex>, <tex>W=\{2, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex>w_{0} = 1</tex>. Тогда <tex tex dpi="130">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex tex dpi="130">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1}</tex>
+
Пусть <tex dpi="130">A={0, 1}</tex>, <tex>S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств из <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{2, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex dpi="130">w_{0} = 1</tex>. Тогда <tex dpi="150">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex tex dpi="150">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1}</tex>
:<tex dpi="130">S_{0}=s_{0, 0} = 1</tex>
+
:<tex dpi="150">S_{0}=s_{0, 0} = 1</tex>
:<tex dpi="130">S_{1}=s_{1, 1} = s_{1, 0} + 2s_{0, 0} = 2s_{0, 0} = 2</tex>
+
:<tex dpi="150">S_{1}=s_{1, 1} = s_{1, 0} + 2s_{0, 0} = 2s_{0, 0} = 2</tex>
:<tex dpi="130">S_{2}=s_{2, 2} = s_{2, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{2, 0} + 2s_{1, 0} + s_{0, 0}= s_{0, 0} = 1</tex>
+
:<tex dpi="150">S_{2}=s_{2, 2} = s_{2, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{2, 0} + 2s_{1, 0} + s_{0, 0}= s_{0, 0} = 1</tex>
:<tex dpi="130">S_{3}=s_{3, 3} = s_{3, 2} + 0 \times s_{0, 2} = s_{3, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{3, 0} + 2s_{2, 0} + 0 \ times s_{1, 0} + 0 \ times s_{0, 0}= 0</tex>
+
:<tex dpi="150">{S_{3}=s_{3, 3} = s_{3, 2} + 0 \times s_{0, 2} = s_{3, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{3, 0} + 2s_{2, 0} + 0 \times s_{1, 0} + 0 \times s_{0, 0}= 0}</tex>
:Для <tex dpi="130">n > 2</tex>, <tex dpi="130">S_{n} = 0</tex>  
+
:Для <tex dpi="150">n > 2</tex>, <tex dpi="150">S_{n} = 0</tex>  
  
:<tex>\{\}</tex>
+
:<tex dpi="150">\{\}</tex>
:<tex>\{0\}, \{1\}</tex>
+
:<tex dpi="150">\{0\}, \{1\}</tex>
:<tex>\{0, 1\}</tex>
+
:<tex dpi="150">\{0, 1\}</tex>
  
  
 
===Количество разбиений на слагаемые===
 
===Количество разбиений на слагаемые===
Пусть <tex>A=\mathbb{N}</tex>, <tex>S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|разбиений на слагаемые]], <tex>W=\{1 \ldots 1\}</tex>, <tex>w_{0} = 1</tex>. Тогда <tex dpi="130">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex tex dpi="130">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1} = s_{n, k-1} + s_{n - k, k}</tex>, что, как не сложно заметить, соответсвует формуле, полученной методом динамического программирования.
+
Пусть <tex dpi="130">A=\mathbb{N}</tex>, <tex dpi="130">S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|разбиений на слагаемые]], <tex dpi="130">W=\{1 \ldots 1\}</tex>, <tex dpi="130">w_{0} = 1</tex>. Тогда,
 +
:<tex dpi="150">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex tex dpi="150">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1} = s_{n, k-1} + s_{n - k, k}</tex>, что, как не сложно заметить, соответствует формуле, полученной методом динамического программирования.
  
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex>S=MSet(A)</tex> {{---}} множество всех мультимножеств объектов, составленных из элементов <tex>A</tex>, <tex>W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex>\{1 \ldots k\}</tex>, составленных из элементов <tex>A</tex>, <tex>w_{0} = 1</tex>. Тогда '''количество мультимножеств''' из объектов суммарного веса <tex>n</tex> можно вычислить как <tex dpi="130">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex dpi="130">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}</tex> {{---}} количество таких мультимножеств, что они содержат объекты суммарного веса <tex>\leqslant k</tex>.
+
Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex dpi="130">S=MSet(A)</tex> {{---}} множество всех мультимножеств объектов, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">\{1 \ldots k\}</tex>, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">w_{0} = 1</tex>. Тогда '''количество мультимножеств''' из объектов суммарного веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как <tex dpi="150">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex dpi="150">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}</tex> {{---}} количество таких мультимножеств, что они содержат объекты суммарного веса не более <tex dpi="130">k</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
===Количество MSet из элементов <tex>0</tex> или <tex>1</tex>===
 
===Количество MSet из элементов <tex>0</tex> или <tex>1</tex>===
Пусть <tex>A={0, 1}</tex>, <tex>S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств из <tex>A</tex>, <tex>W=\{2, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex>w_{0} = 1</tex>. Тогда <tex tex dpi="130">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex tex dpi="130">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1}</tex>
+
Пусть <tex dpi="130">A={0, 1}</tex>, <tex dpi="130">S=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств из <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{2, 0 \ldots 0\}</tex>, <tex dpi="130">w_{0} = 1</tex>.
:<tex dpi="130">S_{0}=s_{0, 0} = 1</tex>
+
:Тогда, <tex dpi="150">S_{n}=s_{n, n}</tex>, где <tex dpi="150">s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1}</tex>
:<tex dpi="130">S_{1}=s_{1, 1} = s_{1, 0} + 2s_{0, 0} = 2s_{0, 0} = 2</tex>
+
:<tex dpi="150">S_{0}=s_{0, 0} = 1</tex>
:<tex dpi="130">S_{2}=s_{2, 2} = s_{2, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{2, 0} + 2s_{1, 0} + 3s_{0, 0}= 3s_{0, 0} = 3</tex>
+
:<tex dpi="150">S_{1}=s_{1, 1} = s_{1, 0} + 2s_{0, 0} = 2s_{0, 0} = 2</tex>
:<tex dpi="130">S_{3}=s_{3, 3} = s_{3, 2} + 0 \times s_{0, 2} = s_{3, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{3, 0} + 2s_{2, 0} + 3s_{1, 0} + 4s_{0, 0}= 4s_{0, 0} = 4</tex>
+
:<tex dpi="150">S_{2}=s_{2, 2} = s_{2, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{2, 0} + 2s_{1, 0} + 3s_{0, 0}= 3s_{0, 0} = 3</tex>
 +
:<tex dpi="150">S_{3}=s_{3, 3} = s_{3, 2} + 0 \times s_{0, 2} = s_{3, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{3, 0} + 2s_{2, 0} + 3s_{1, 0} + 4s_{0, 0}= 4s_{0, 0} = 4</tex>
 +
 
 +
:<tex dpi="150">\{\}</tex>
 +
:<tex dpi="150">\{0\}, \{1\}</tex>
 +
:<tex dpi="150">\{0, 0\}, \{0, 1\}, \{1, 1\}</tex>
 +
:<tex dpi="150">\{0, 0, 0\}, \{0, 0, 1\}, \{0, 1, 1\}, \{1, 1, 1\}</tex>
 +
 
 +
:<tex dpi="150">{S_{n}=s_{n, n} = s_{n, n-1} + 0 \times s_{0, n-1} = s_{n, n-2} + 0 \times s_{0, n-2} = \ldots = s_{n, 0} + 2s_{n - 1, 0} + \ldots + ns_{1, 0} + (n+1) s_{0,0} = (n + 1) s_{0,0} = n+1}</tex>
 +
 
 +
===Подсчет подвешенных непомеченных деревьев без порядка на детях===
 +
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами, <tex dpi="130">T_{0} = 1</tex>. <tex dpi="130">F=MSet(T)</tex> {{---}} множество всех лесов из данных деревьев, так как лес можно интерпретировать как мультимножество из деревьев. <tex dpi="130">F_{n}=f_{n,n}</tex> {{---}} количество лесов с суммарным количество вершин <tex dpi="130">n</tex>. <tex dpi="130">f_{n, k}</tex> {{---}} количество лесов из <tex dpi="130">n</tex> вершин, таких что они содержат не более чем <tex dpi="130">k</tex> вершин. Чтобы получить дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину и подвесить к ней лес деревьев с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
 +
:<tex dpi="150">T_{n}=F_{n-1}</tex>.
 +
:<tex dpi="150">F_{n}=f_{n, n}</tex>.
 +
:<tex dpi="150">f{n,k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{T_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}</tex>
  
:<tex>\{\}</tex>
+
Количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами образуют последовательность <tex dpi="130"> 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381, 634847 \ldots</tex> <ref>[http://oeis.org/A000081| Number of unlabeled rooted trees with n node]</ref>
:<tex>\{0\}, \{1\}</tex>
+
[[File:Rooted_Trees.png|700px]]
:<tex>\{0, 0\}, \{0, 1\}, \{1, 1\}</tex>
 
:<tex>\{0, 0, 0\}, \{0, 0, 1\}, \{0, 1, 1\}, \{1, 1, 1\}</tex>
 
  
:<tex dpi="130">{S_{n}=s_{n, n} = s_{n, n-1} + 0 \times s_{0, n-1} = s_{n, n-2} + 0 \times s_{0, n-2} = \ldots = s_{n, 0} + 2s_{n - 1, 0} + \ldots + ns_{1, 0} + (n+1) s_{0,0} = (n + 1) s_{0,0} = n+1}</tex>
 
 
==Примeчания==
 
==Примeчания==
 
<references/>
 
<references/>

Версия 08:27, 26 декабря 2017

Последовательности

Утверждение:
Пусть [math]A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}[/math] — множество из различных объектов, [math]S=Seq(A)[/math] — множество всех последовательностей из элементов [math]A[/math], [math]W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{m}\}[/math] — количество объектов веса [math]\{1 \ldots m\}[/math]. Тогда количество последовательностей веса [math]n[/math] можно вычислить как: [math]S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}[/math].

Подсчет битовых векторов длины [math]n[/math]

Пусть [math]A=\{0, 1\}[/math], [math]W=\{2, 0 \ldots 0\}[/math], [math]S=Seq(A)[/math] — множество всех битовых векторов.

Тогда, [math]S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}=2S_{n-1}=2^{n}[/math].

Подсчет Seq из маленьких и больших элементов

Пусть [math]A=\{1, 2\}[/math], [math]W=\{1, 1, 0 \ldots 0\}[/math], [math]S=Seq(A)[/math] — множество всех последовательностей из маленьких и больших элементов [math]S=Seq(A)[/math].

Тогда, [math]S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-1}=S_{n-1}+S_{n-2}=F_{n}[/math], где [math]F_{n}[/math][math]n[/math]-ое число Фибоначчи [1].

Подсчет подвешенных непомеченных деревьев с порядком на детях

Пусть [math]T_{n}[/math] — количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами, [math]T_{0} = 1[/math]. [math]S=Seq(A)[/math] — множество всех последовательностей из данных деревьев. [math]S_{n}[/math] — количество последовательностей с суммарным количество вершин [math]n[/math]. Чтобы получить дерево из [math]n[/math] вершин достаточно взять [math]1[/math] вершину и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин [math]n-1[/math]. Тогда:

[math]T_{n}=S_{n-1}[/math].
[math]S_{n}=\sum_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-1}=C_{n}[/math], где [math]C_{n}[/math][math]n[/math]-ое число Каталана

Ordered Rooted Trees.png

Множества

Утверждение:
Пусть [math]A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}[/math] — множество из различных объектов, [math]S=PSet(A)[/math] — множество всех множеств объектов, составленных из элементов [math]A[/math], [math]W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}[/math] — количество объектов веса [math]\{1 \ldots k\}[/math], составленных из элементов [math]A[/math], [math]w_{0} = 1[/math]. Тогда количество множеств из объектов суммарного веса [math]n[/math] можно вычислить как [math]S_{n}=s_{n, n}[/math], где [math]s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}}{i} s_{n-ik, k-1}[/math] — количество таких множеств, что они содержат объекты суммарного веса [math]\leqslant k[/math].

Количество PSet из элементов [math]0[/math] или [math]1[/math]

Пусть [math]A={0, 1}[/math], [math]S=PSet(A)[/math] — множество всех множеств из [math]A[/math], [math]W=\{2, 0 \ldots 0\}[/math], [math]w_{0} = 1[/math]. Тогда [math]S_{n}=s_{n, n}[/math], где [math]s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1}[/math]

[math]S_{0}=s_{0, 0} = 1[/math]
[math]S_{1}=s_{1, 1} = s_{1, 0} + 2s_{0, 0} = 2s_{0, 0} = 2[/math]
[math]S_{2}=s_{2, 2} = s_{2, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{2, 0} + 2s_{1, 0} + s_{0, 0}= s_{0, 0} = 1[/math]
[math]{S_{3}=s_{3, 3} = s_{3, 2} + 0 \times s_{0, 2} = s_{3, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{3, 0} + 2s_{2, 0} + 0 \times s_{1, 0} + 0 \times s_{0, 0}= 0}[/math]
Для [math]n \gt 2[/math], [math]S_{n} = 0[/math]
[math]\{\}[/math]
[math]\{0\}, \{1\}[/math]
[math]\{0, 1\}[/math]


Количество разбиений на слагаемые

Пусть [math]A=\mathbb{N}[/math], [math]S=PSet(A)[/math] — множество всех разбиений на слагаемые, [math]W=\{1 \ldots 1\}[/math], [math]w_{0} = 1[/math]. Тогда,

[math]S_{n}=s_{n, n}[/math], где [math]s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1} = s_{n, k-1} + s_{n - k, k}[/math], что, как не сложно заметить, соответствует формуле, полученной методом динамического программирования.


Утверждение:
Пусть [math]A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}\}[/math] — множество из различных объектов, [math]S=MSet(A)[/math] — множество всех мультимножеств объектов, составленных из элементов [math]A[/math], [math]W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{k}\}[/math] — количество объектов веса [math]\{1 \ldots k\}[/math], составленных из элементов [math]A[/math], [math]w_{0} = 1[/math]. Тогда количество мультимножеств из объектов суммарного веса [math]n[/math] можно вычислить как [math]S_{n}=s_{n, n}[/math], где [math]s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}[/math] — количество таких мультимножеств, что они содержат объекты суммарного веса не более [math]k[/math].

Количество MSet из элементов [math]0[/math] или [math]1[/math]

Пусть [math]A={0, 1}[/math], [math]S=PSet(A)[/math] — множество всех множеств из [math]A[/math], [math]W=\{2, 0 \ldots 0\}[/math], [math]w_{0} = 1[/math].

Тогда, [math]S_{n}=s_{n, n}[/math], где [math]s_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} s_{n-ik, k-1}[/math]
[math]S_{0}=s_{0, 0} = 1[/math]
[math]S_{1}=s_{1, 1} = s_{1, 0} + 2s_{0, 0} = 2s_{0, 0} = 2[/math]
[math]S_{2}=s_{2, 2} = s_{2, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{2, 0} + 2s_{1, 0} + 3s_{0, 0}= 3s_{0, 0} = 3[/math]
[math]S_{3}=s_{3, 3} = s_{3, 2} + 0 \times s_{0, 2} = s_{3, 1} + 0 \times s_{0, 1} = s_{3, 0} + 2s_{2, 0} + 3s_{1, 0} + 4s_{0, 0}= 4s_{0, 0} = 4[/math]
[math]\{\}[/math]
[math]\{0\}, \{1\}[/math]
[math]\{0, 0\}, \{0, 1\}, \{1, 1\}[/math]
[math]\{0, 0, 0\}, \{0, 0, 1\}, \{0, 1, 1\}, \{1, 1, 1\}[/math]
[math]{S_{n}=s_{n, n} = s_{n, n-1} + 0 \times s_{0, n-1} = s_{n, n-2} + 0 \times s_{0, n-2} = \ldots = s_{n, 0} + 2s_{n - 1, 0} + \ldots + ns_{1, 0} + (n+1) s_{0,0} = (n + 1) s_{0,0} = n+1}[/math]

Подсчет подвешенных непомеченных деревьев без порядка на детях

Пусть [math]T_{n}[/math] — количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами, [math]T_{0} = 1[/math]. [math]F=MSet(T)[/math] — множество всех лесов из данных деревьев, так как лес можно интерпретировать как мультимножество из деревьев. [math]F_{n}=f_{n,n}[/math] — количество лесов с суммарным количество вершин [math]n[/math]. [math]f_{n, k}[/math] — количество лесов из [math]n[/math] вершин, таких что они содержат не более чем [math]k[/math] вершин. Чтобы получить дерево из [math]n[/math] вершин достаточно взять [math]1[/math] вершину и подвесить к ней лес деревьев с суммарным количеством вершин [math]n-1[/math]. Тогда:

[math]T_{n}=F_{n-1}[/math].
[math]F_{n}=f_{n, n}[/math].
[math]f{n,k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{T_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}[/math]

Количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами образуют последовательность [math] 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381, 634847 \ldots[/math] [2] Rooted Trees.png

Примeчания