Изменения

Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{z}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{ml}\}</tex> {{---}} количество объектов веса от <tex dpi="130">1</tex> до <tex dpi="130">ml</tex>. Мы считаем, что нет объектов веса <tex dpi="130"">0</tex>, так как в противном случае существует бесконечное количество последовательностей любого веса. Тогда, '''количество последовательностей''' веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как <tex dpi="150">S_{n}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} S_{n-i}</tex>. Причем <tex dpi="150"">S_{0} = 1</tex>, так как есть единственный способ составить пустую последовательность.

:Пусть для <tex dpi="130"">j < n</tex> верно. Докажем для <tex dpi="130"">n</tex>. Возьмем произвольный элемент из <tex dpi="130"">A</tex> веса <tex dpi="130"">i \leqslant n</tex>, и допишем его к последовательности элементов веса <tex dpi="130"">n-i</tex>. Образуется новая последовательность веса <tex dpi="130"">n</tex>. Причем никакая последовательность не будет учтена дважды, так как прежде не было последовательностей веса <tex dpi="130"">n</tex> и ни к какой последовательности меньшего веса мы не добавляем один и тот же элемент дважды.l}}

Пусть <tex dpi="130">A=\{a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{z}\}</tex> {{---}} множество из различных объектов, <tex dpi="130">P=PSet(A)</tex> {{---}} множество всех множеств, составленных из элементов <tex dpi="130">A</tex>, <tex dpi="130">W=\{w_{1},w_{2}, \ldots ,w_{kl}\}</tex> {{---}} количество объектов веса от <tex dpi="130">\{1 \ldots k\}</tex> до <tex dpi="130">l</tex>. Для простоты считаем что нет объектов веса <tex dpi="130"">0</tex>. Тогда '''количество множеств''' суммарного веса <tex dpi="130">n</tex> можно вычислить как <tex dpi="150">P_{n}=p_{n, n}</tex>, где <tex dpi="150">p_{n, k}=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{w_{k}}{i} p_{n-ik, k-1}</tex> {{---}} количество таких множеств, которые содержат объекты, вес которых не больше чем <tex dpi="150">k</tex>. Причем <tex dpi="150">p_{0, i} = 1</tex>, так как не набирать никакой вес есть один способ, а <tex dpi="150">p_{i, 0} = 0</tex>, <tex dpi="150"">i \ne 0</tex>, так как нельзя набрать положительный вес из ничего.|proof=Изначально у нас есть только пустое множество веса <tex dpi="130">0</tex>. Рассмотрим очередной этап вычисления <tex dpi="130">p_{n,k}</tex>. Для данных <tex dpi="130">n</tex> и <tex dpi="130">k</tex> у нас уже имеется множество, которое необходимо дополнить. Мы можем сделать это добавляя от <tex dpi="130">0</tex> до <tex dpi="130">\lfloor \frac{n}{k} \rfloor</tex> элементов веса <tex dpi="130">k</tex> (при условии, что столько различных элементов имеется) в данное множество. Следовательно, у нас образуется новые множества, которые будет необходимо дополнить элементами веса меньше <tex dpi="130">k</tex>(чтобы избежать повторений) суммарного веса <tex dpi="130">n-ik</tex>, где <tex dpi="130">i</tex> {{---}} количество элементов веса <tex dpi="130">k</tex> которое мы добавили в данное множество. Довольно легко заметить, что данные операции полностью соответствуют описанной выше формуле.