Изменения

Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются ''контактные схемы''. С помощью ''контактных схем'' можно представить любую булеву функцию.

'''Контактная схема''' (англ. ''contact shemecircuit'') представляет собой [[Основные определения теории графов|ориентированный ациклический граф]], на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание .}}{{Определение|definition ='''Контакт''' (ребра в контактных схемах называют англ. ''контактамиcontact'', а вершины ) {{---}} ''полюсами''ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием. Каждому ребру в схеме сопоставляется какая то переменная (не обязательно каждой переменной сопоставляется ребро).

[[Файл:contact.png||right||200px]][[Файл:contactnot.png {{Определение|right|200px | Отрицание]]definition =Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда '''замкнутымиЗамкнутый контакт''' (англ. ''closed contact' называются ребра') {{---}} контакт схемы, на которых записана над которым написана <tex>1</tex>, ребра, на которых записан или значение переменной равно <tex>01</tex>, называются .}} {{Определение|definition ='''Разомкнутый контакт''разомкнутыми'(англ. ''open contact'') {{---}} контакт схемы, над которым написан <tex>0</tex> или значение переменной равно <tex>0</tex>. Зафиксируем две вершины }} Пусть <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию {{---}} два полюса контактной схемы (из вершины <tex>fu</tex> между вершинами ребра только выходят, в вершину <tex>uv</tex> и ребра только входят), определяющую функцию <tex>vg(x_1, x_2 \dots, x_n)</tex>. Тогда <tex>g(x_1, x_2 \dots, равную x_n)</tex> принимает значение <tex>1</tex> на тех наборах при таком наборе значений переменных, на которых между если можно добраться из <tex>u</tex> и в <tex>v</tex> есть путь только по замкнутым ребрамконтактам.

Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к [[ДНФ|ДНФ]] или [[КНФ|КНФ]], а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:{| cellpadding====Конъюнкция==== "0"| [[Файл:multiply.png | 200px 250px | right thumb | Конъюнкция]]Результат конъюнкции равен <tex>1</tex> тогда и только тогда, когда оба операнда равны <tex>1</tex>|| [[Файл:disjunction.png | 250 px | thumb | Дизъюнкция]] || [[Файл:contactnot. В применении к контактным схемам это означает, чтоpng |200px | thumb | Отрицание]]последовательное соединение полюсов соответствует операции конъюнкции.|}

====Дизъюнкция=Построение контактных схем=== [[Файл:disjunction.png | 200 px | right | Дизъюнкция]]Результат дизъюнкции равен <tex>0</tex> только в случае, когда оба операнда равны <tex>0</tex>. Несложно догадаться, что в контактных схемах эта операция соответствует параллельному соединению полюсов.

Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует. В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в [[ДНФ|ДНФ]]: <tex>f====Отрицание==== Отрицание {{---}} это унарная операция(\neg x \land y \land z) \lor (x \land \neg y \land z) \lor (x \land y \land z)</tex>. Каждой скобке [[ДНФ|ДНФ]] соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, поэтомуопределяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, чтобы показать её на контактной схеме достаточно написать над контактом знак отрицаниявся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена ниже. [[Файл:example10.png|320px]]

 ====Медиана трех==={| cellpadding= "0"| [[Файл:xor.png |200 px| thumb | исключающее "или"]] || || [[Файл:median.png |200 px| rightthumb | медиана]] |-| <tex> x \langle x,oplus y,z \rangle = (\neg x \land y) \lor (x \land z) \lor (neg y \land z) </tex> || || <tex> \lor (langle x \land ,y ,z \land z) rangle = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z)</tex>|}

Две контактные схемы называются '''эквивалентными''' (англ. ''equivalent contact circuits)'', если они реализуют одну и ту же булеву функцию.

'''Сложностью контактной схемы''' {{---}} (англ. ''the complexity of the contact circuit'') называется число

|definition='''Минимальная контактная схема''' (англ. ''minimal contact circuit'') {{---}} схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.}} {{Определение|definition = '''Дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных''' {{---}} двоичное ориентированное дерево глубиной <tex>n</tex>, такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной <tex>x_k (k \leqslant n)</tex>, а правое помечено символом отрицания переменной <tex>x_k</tex>.

* Упрощаем <tex>F(S)</tex>, то есть отыскиваем функцию <tex>G</tex> (на том же базисе, что и <tex>F(S)</tex>), равносильную <tex>F(S)</tex> и содержащую меньше вхождений операций дизъюнкции и конъюнкции. Для этой операции удобно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE [Сокращенная_и_минимальная_ДНФ| карты Карно]].

|statement = Любой Любую булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью <tex>O(2^n)</tex>|proof=Построим дерево конъюнктов для n переменных и их отрицаний. Это дерево будет содержать Пусть дана функция <tex>Of(2^nx_1,x_2 \dots, x_n)</tex> контактови она представлена в [[ДНФ|ДНФ]][[Файл:tree_for_two. Внизу дерева получится <tex>png | 250px | thumb | Дерево конъюнктов для 2^n</tex> вершин. Очевидно, что каждая вершина соответствует одному конъюнкту. Если соединить часть из этих вершин с вершиной <tex>v</tex> ребрами, на которых написана <tex>1</tex>, то сложность полученной схемы не изменится.-х переменных]]

Поэтому любую булевую функцию Возьмем дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных (см. картинку). Очевидно, что от вершины <tex>u</tex> до "нижних" вершин дерево можно представить контактной схемойдобраться за <tex>O(n)</tex>, а ребер у такого дерева <tex>O(2^n)</tex> Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной <tex>v</tex> контактами, над которыми написана <tex>1</tex>. От этого в схему добавится не более, чем <tex>2^n</tex> ребер и тогда сложность останется <tex>O(2^n)</tex>.  В результате можно построить контактную схему для любой функции со сложностью <tex>O(2^n)</tex>

* [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|Построение функциональной схемы]]

==СсылкиИсточники информации==