Изменения
Опечатка
Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются ''контактные схемы''. С помощью ''контактных схем'' можно представить любую булеву функцию.
{{Определение
|definition =
'''Контактная схема''' (англ. ''contact circuit'') представляет собой [[Основные определения теории графов|ориентированный ациклический граф]], на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание.
}}
{{Определение
|definition =
'''Контакт''' (англ. ''contact'') {{---}} ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием. Каждому ребру в схеме сопоставляется какая то переменная (не обязательно каждой переменной сопоставляется ребро)
}}
==Принцип работы==
{{Определение
|definition =
'''Замкнутый контакт''' (англ. ''closed contact'') {{---}} контакт схемы, над которым написана <tex>1</tex> или значение переменной равно <tex>1</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''КонтактРазомкнутый контакт''' (англ. ''open contact'') {{---}} ребро контакт схемы, помеченное символом над которым написан <tex>0</tex> или значение переменной или ее отрицаниемравно <tex>0</tex>.
}}
==Построение контактных схем==
===Представление одного из базисов в контактных схемах===
Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к [[ДНФ|ДНФ]] или [[КНФ|КНФ]], а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:
Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует. В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в [[ДНФ|ДНФ]]: <tex>f====Отрицание==== Отрицание {{---}} это унарная операция(\neg x \land y \land z) \lor (x \land \neg y \land z) \lor (x \land y \land z)</tex>. Каждой скобке [[ДНФ|ДНФ]] соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, поэтомуопределяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, чтобы показать её на контактной схеме достаточно написать над контактом знак отрицаниявся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена ниже. [[Файл:example10.png|320px]]
=== Примеры построения некоторых функций ===
{| cellpadding="0"| [[Файл:xor.png |200 px| rightthumb | xor]]====Исключающее исключающее "или"==== ]] || || [[Файл:median.png |200 px|thumb | медиана]] |-| <tex>x \oplus y = (\neg x \land y) \lor (x \land \neg y)</tex> [[Файл:median.png |200 px| right || медиана]] ====Медиана трех==== <tex> \langle x,y,z \rangle = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z) \lor (x \land y \land z) = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z)</tex>|}
==Задача о минимизации контактной схемы==
{{Определение
|definition='''Минимальная контактная схема''' {{---}} (англ. ''Minimal minimal contact circuit'') {{---}} схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.}} {{Определение|definition = '''Дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных''' {{---}} двоичное ориентированное дерево глубиной <tex>n</tex>, такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной <tex>x_k (k \leqslant n)</tex>, а правое помечено символом отрицания переменной <tex>x_k</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = Любой Любую булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью <tex>O(2^n)</tex>|proof = Пусть дана функция <tex>f(x_1,x_2 \dots, x_n)</tex> и она представлена в [[ДНФ|ДНФ]][[Файл:tree_for_two.png | 250px | thumb | Дерево конъюнктов для 2-х переменных]]
Возьмем дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных (см. картинку). Очевидно, что от вершины <tex>u</tex> до "нижних" вершин дерево можно добраться за <tex>O(n)</tex>, а ребер у такого дерева <tex>O(2^n)</tex>
Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной <tex>v</tex> контактами, над которыми написана <tex>1</tex>. От этого в схему добавится не более, чем <tex>2^n</tex> ребер и тогда сложность останется <tex>O(2^n)</tex>.
В результате можно построить контактную схему для любой функции со сложностью <tex>O(2^n)</tex>
}}
* [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|Построение функциональной схемы]]
==СсылкиИсточники информации==
* [http://pgap.chat.ru/zap/zap116.htm Контактные схемы]
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Contact_scheme Encyclopedia of Math {{---}} Contact sheme]
* Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике
* М. А. Айзерман, Л. А. Гусев, Л. И. Розоноэр И. М. Смирнова, А. А. Таль. Логика, автоматы, алгоритмы.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]
