Изменения
Опечатка
Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются ''контактные схемы''. С помощью ''контактных схем'' можно представить любую булеву функцию.
{{Определение
|definition =
'''Контактная схема''' (англ. ''contact circuit'') представляет собой [[Основные определения теории графов|ориентированный ациклический граф]], на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание.
}}
{{Определение
|definition =
'''Контакт''' (англ. ''contact'') {{---}} ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием. Каждому ребру в схеме сопоставляется какая то переменная (не обязательно каждой переменной сопоставляется ребро)
}}
{{Определение
|definition =
'''Замкнутый контакт''' (англ. ''closed contact'') {{---}} контакт схемы, над которым написана <tex>01</tex> или значение переменной равно <tex>01</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''Разомкнутый контакт''' (англ. ''open contact'') {{---}} контакт схемы, над которым написана написан <tex>10</tex> или значение переменной равно <tex>10</tex>.
}}
Пусть <tex>u</tex> и <tex>v</tex> {{---}} два полюса контактной схемы(из вершины <tex>u</tex> ребра только выходят, в вершину <tex>v</tex> ребра только входят), определяющую функцию <tex>g(x_1, x_2 \dots, x_n)</tex>. Тогда <tex>g(x_1, x_2 \dots, x_n)</tex> принимает значение <tex>1</tex> при таком наборе значений переменных, если можно добраться из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> только по разомкнутым замкнутым контактам.
==Построение контактных схем==
===Построение контактных схем===
Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует.
В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в [[ДНФ|ДНФ]]: <tex>f=(\neg x \land y \land \neg z) \lor (x \land \neg y \land \neg z) \lor (x \land y \land z)</tex>. Каждой скобке [[ДНФ|ДНФ]] соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена cправаниже. [[Файл:example10.png|320px]]
=== Примеры построения некоторых функций ===
{{Определение
|definition='''Минимальная контактная схема''' (англ. ''minimal contact circuit'') {{---}} схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.
}}
{{Определение
|definition =
'''Дерево конъюнктов для <tex>n</tex> переменных''' {{---}} двоичное ориентированное дерево глубиной <tex>n</tex>, такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной <tex>x_k (k \leqslant n)</tex>, а правое помечено символом отрицания переменной <tex>x_k</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = Любой Любую булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью <tex>O(2^n)</tex>
|proof =
Пусть дана функция <tex>f(x_1,x_2 \dots, x_n)</tex> и она представлена в [[ДНФ|ДНФ]]
[[Файл:tree_for_two.png | 250px | thumb | Дерево конъюнктов для 2-х переменных]]
Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной <tex>v</tex> контактами, над которыми написана <tex>1</tex>. От этого в схему добавится не более, чем <tex>2^n</tex> ребер и тогда сложность останется <tex>O(2^n)</tex>.
* Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике
* М. А. Айзерман, Л. А. Гусев, Л. И. Розоноэр И. М. Смирнова, А. А. Таль. Логика, автоматы, алгоритмы.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]
