390
правок
Изменения
м
Правила:<br>
<tex>S\rightarrow (S)S</tex><br>
<tex>S\rightarrow S(S)</tex><br>
<tex>S\rightarrow \varepsilon</tex><br>
Выведем слово <tex>"(()(()))()"</tex>:<br>
<br>Рассмотрим левосторонний вывод скобочной последовательности из примера:<br>
<br>
Построим дерево разбора скобочной последовательности из примера.<br>
[[Файл:ParsingTree.png|350px]]
Для одного и того же языка может существовать {{Утверждение|statement=Существуют языки, которые можно задать одновременно как однозначнаяоднозначными, так и неоднозначная неоднозначными грамматиками.|proof=Для доказательства достаточно привести однозначную грамматику для языка правильных скобочных последовательностей (неоднозначной грамматикой для данного языка является грамматикаиз примера выше). Рассмотрим грамматику::<tex>(</tex> и <tex>)</tex> {{---}} терминальные символы:<tex>S</tex> {{---}} стартовый нетерминал
Например, у языка правильных скобочных последовательностей существует однозначная грамматика.Правила:#<tex>S\rightarrow (S)S</tex>#<tex>S\rightarrow \varepsilon</tex>
ОднакоПокажем, есть КС-языкичто эта грамматика однозначна.Для этого, используя индукцию, докажем, что для которых не любого слова <tex>\omega</tex>, являющегося правильной скобочной последовательностью, в данной грамматике существует однозначных КС-грамматик. Такие языки и грамматики их порождающие называют [[Существенно неоднозначные языки|''существенно неоднозначными'']]только одно дерево разбора.
{{Лемма|id'''База:''' Если <tex>\omega=lemma-\varepsilon</tex>, то оно выводится только по второму правилу <tex>\Rightarrow</tex> для него существует единственное дерево разбора.|statement='''Индукционный переход:''' Пусть <tex>\Gammaleft\vert \omega \right\vert=n</tex> и <tex>\forall \upsilon</tex>: <tex>\left\vert \upsilon \right\vert < n</tex> и <tex>\upsilon</tex> {{---}} однозначная грамматикаправильная скобочная последовательность, у которой <tex>\exists!</tex> дерево разбора. :Найдем в слове <tex>\omega</tex> минимальный индекс <tex>i \neq 0</tex> такой, что слово <tex>\omega[0 \ldots i]</tex> является правильной скобочной последовательностью. Тогда Так как <tex>i \neq 0</tex> минимальный, то <tex>\forall omega[0 \ldots i]=(\alpha)\ </tex>. Из того, что <tex>\omega </tex> является правильной скобочной последовательностью <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\alpha</tex> и <tex>\in beta=\mathbbomega[i+1 \ldots n-1]</tex> {L{---}}правильные скобочные последовательности, при этом <tex>\left\vert \alpha \right\vert<n</tex> и <tex>\left\vert \beta \right\vert<n \Rightarrow</tex> по индукционному предположению предположению у <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> существуют единственные деревья разбора. :Если мы покажем, что из части <tex>(S)</tex> первого правила можно вывести только слово <tex>(\Gammaalpha)</tex> существует ровно один левосторонний , то утверждение будет доказано (правостороннийтак как из первой части первого правила выводится <tex>\alpha</tex>, а из второй только <tex>\beta</tex> и для каждого из них по предположению существуют единственные деревья разбора) вывод.|proof:Пусть из <tex>(S)</tex> была выведена часть слова <tex>\omega[0 \ldots j]=(\gamma)</tex>, где <tex>j < i</tex>, при этом <tex>\gamma</tex> является правильной скобочной последовательностью, но тогда как минимальный индекс мы должны были выбрать <tex>j</tex>, а не <tex>i</tex> {{---}} противоречие. Очевидно:Аналогично из <tex>(S)</tex> не может быть выведена часть слова <tex>\omega[0 \ldots j] \ </tex>, где <tex>j > i</tex>, потому что по дереву разбора однозначно восстанавливается левостороннийтогда <tex>\omega[0 \ldots i]=(правосторонний\alpha) вывод\ </tex> не будет правильной скобочной последовательностью, так как в позиции <tex>i-1</tex> баланс скобок будет отрицательный. Поскольку каждое слово :Значит, из языка выводится только одним деревом разбора, то существует только один левосторонний<tex>(правостороннийS) вывод этого </tex> была выведена часть слова<tex>\omega[0 \ldots i] \Rightarrow \omega \ </tex> имеет единственное дерево разбора <tex>\Rightarrow</tex> данная грамматика однозначная. Таким образом, для языка правильных скобочных последовательностей мы привели пример как однозначной, так и неоднозначной грамматики.
Исправил многоточия ещё
|id=csgrammar
|definition=
'''Контекстно-свободной грамматикой''' (англ. ''сontext-free grammar'') называется [[Формальные грамматики|грамматика]], у которой в левых частях всех правил стоят только одиночные нетерминалы.
}}
{{Определение
|id=lang
|definition=
'''Контекстно-свободный язык''' (англ. ''context-free language'') {{---}} язык, задаваемый контекстно-свободной грамматикой.
}}
==Вывод Лево- и правосторонний вывод слова и дерево разбора==
{{Определение
'''Выводом слова''' (англ. ''derivation of a word'') <tex>\alpha</tex> называется последовательность строк, состоящих из терминалов и нетерминалов. Первая строка последовательности состоит из одного стартового нетерминала. Каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены любого нетерминала по одному (любому) из правил, а последней строкой в последовательности является слово <tex>\alpha</tex>.
}}
'''Пример:'''
Рассмотрим грамматику, выводящую все правильные скобочные последовательности.
:<tex>(</tex> и <tex>)</tex> {{---}} терминальные символы
:<tex>S</tex> {{---}} стартовый нетерминал
Правила:#<tex>"S\rightarrow ("S)S</tex> и #<tex>"S\rightarrow S(S)"</tex> {{---}} терминальные символы; #<tex>S\rightarrow \varepsilon</tex>
Выведем слово <tex>S(()(()))()</tex> {{---}} стартовый нетерминал; :
<tex>\boldsymbol{S}\Rightarrow (S)\boldsymbol{S} \Rightarrow (S)(\boldsymbol{S})S\Rightarrow(S)()\boldsymbol{S}\Rightarrow(\boldsymbol{S})()\Rightarrow(\boldsymbol{S}(S))()\Rightarrow(S(S)(\boldsymbol{S}))()\Rightarrow(S(S)(\boldsymbol{S}(S)))()\Rightarrow (S(\boldsymbol{S})((S)))()\Rightarrow(\boldsymbol{S}()((S)))()\Rightarrow(()((\boldsymbol{S})))()\Rightarrow(()(()))()</tex>
{{Определение
|definition=
'''Левосторонний вывод Левосторонним выводом слова''' (англ. ''leftmost derivation'')<tex>\alpha</tex> {{---}} называется такой выводслова <tex>\alpha</tex>, где в котором каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены по одному из правил самого левого встречающегося в строке нетерминала.
}}
{{Определение
|definition=
'''Правосторонним выводом слова''' (англ. '' rightmost derivation'') <tex>\alpha</tex> {{---}} называется такой выводслова <tex>\alpha</tex>, где в котором каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены по одному из правил самого правого встречающегося в строке нетерминала.
}}
<tex>\boldsymbol{S}\Rightarrow (\boldsymbol{S})S \Rightarrow ((\boldsymbol{S})S)S\Rightarrow (()\boldsymbol{S})S\Rightarrow(()\boldsymbol{S}(S))S\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}))S\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}(S)))S\Rightarrow(()((\boldsymbol{S})))S\Rightarrow(()(()))\boldsymbol{S}\Rightarrow(()(()))(\boldsymbol{S})S\Rightarrow(()(()))()\boldsymbol{S}\Rightarrow(()(()))()</tex>
==Дерево разбора==
{{Определение
{{Определение
|definition=
'''Кронадерева разбора''' (англ. ''leaves of the parse tree'' дерева разбора ) {{---}} множество терминальных символов, упорядоченное в соответствии с номерами их достижения при обходе дерева в глубину из корня. Крона дерева разбора представляет из себя слово языка, которое выводит это дерево.}} Построим дерево разбора скобочной последовательности из примера. [[Файл:BracketsSequenceParsingTree1.png]] {{Теорема|id=t1|statement=Пусть <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex> — КС-грамматика. Предположим, что существует дерево разбора с корнем, отмеченным <tex>A</tex>, и кроной <tex>\omega</tex>, где <tex>\omega \in N^{*}</tex>. Тогда в грамматике <tex>\Gamma</tex> существует левое порождение <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega</tex>|proof=Используем индукцию по высоте дерева. '''База:''' Базисом является высота <tex>1</tex>, наименьшая из возможных для дерева разбора с терминальной кроной.:Поскольку это дерево является деревом разбора, <tex>A \rightarrow \omega</tex> должно быть продукцией. Таким образом, <tex>A \Rightarrow_{lm} \omega</tex> есть одношаговое левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>. '''Индукционный переход:''' Существует корень с отметкой <tex>A</tex> и сыновьями, отмеченными слева направо <tex>X_1X_2 \ldots X_k</tex>. Символы <tex>X</tex> могут быть как терминалами, так и переменными.# Если <tex>X_i</tex> — терминал, то определим <tex>\omega_i</tex> как цепочку, состоящую из одного <tex>X_i</tex>.# Если <tex>X_i</tex> — переменная, то она должна быть корнем некоторого поддерева с терминальной кроной, которую обозначим <tex>\omega_i</tex>. Заметим, что в этом случае высота поддерева меньше <tex>n</tex>, поэтому к нему применимо предположение индукции. Следовательно, существует левое порождение <tex>X_i \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_i</tex>. Заметим, что <tex>\omega = \omega_1\omega_2 \ldots \omega_k</tex>.Построим левое порождение цепочки <tex>\omega</tex> следующим образом::Начнем с шага <tex>A \Rightarrow_{lm} X_1X_2\ldots X_k</tex>.:Затем для <tex>i = 1, 2, \ldots, k \ </tex> покажем, что имеет место следующее порождение: <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\ldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\ldots X_k</tex> Данное доказательство использует в действительности еще одну индукцию, на этот раз по <tex>i</tex>.Для базиса <tex>i = 0</tex> мы уже знаем, что <tex>A \Rightarrow_{lm} X_1X_2\ldots X_k</tex>. Для индукции предположим, что существует следующее порождение: <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\ldots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}\ldots X_k</tex> # Если <tex>X_i</tex> — терминал, то не делаем ничего, но в дальнейшем рассматриваем <tex>X_i</tex> как терминальную цепочку <tex>\omega_i</tex>. Таким образом, приходим к существованию следующего порождения. <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\ldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\ldots X_k</tex># Если <tex>X_i</tex> является переменной, то продолжаем порождением <tex>\omega_i</tex> из <tex>X_i</tex> в контексте уже построенного порождения. Таким образом, если этим порождением является: <tex>X_i \Rightarrow_{lm} \alpha_1 \Rightarrow_{lm} \alpha_2\ldots \Rightarrow_{lm} \omega_i</tex>, то продолжаем следующими порождениями: ::<tex>\omega_1\omega_2\ldots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}\ldots X_k \Rightarrow_{lm}</tex> ::<tex>\omega_1\omega_2\ldots\omega_{i–1}\alpha_1X_{i+1}\ldots X_k \Rightarrow_{lm}</tex> ::<tex>\omega_1\omega_2\ldots\omega_{i–1}\alpha_2X_{i+1}\ldots X_k \Rightarrow_{lm}</tex> ::<tex>\ldots</tex> ::<tex>\omega_1\omega_2\ldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\ldots X_k</tex> Результатом является порождение <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2\ldots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}\ldots X_k</tex>.Когда <tex>i = k</tex>, результат представляет собой левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>.}} {{Теорема|id=t2|statement=Для каждой грамматики <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex> и <tex>\omega</tex> из <tex>N^{*}</tex> цепочка <tex>\omega</tex> имеет два разных дерева разбора тогда и только тогда, когда <tex>\omega</tex> имеет два разных левых порождения из <tex>P</tex>.|proof=<tex>\Longrightarrow</tex> :Внимательно рассмотрим построение левого порождения по дереву разбора в доказательстве [[#t1|теоремы]]. В любом случае, если у двух деревьев разбора впервые появляется узел, в котором применяются различные продукции, левые порождения, которые строятся, также используют разные продукции и, следовательно, являются различными. <tex> \Longleftarrow </tex> :Хотя мы предварительно не описали непосредственное построение дерева разбора по левому порождению, идея его проста. Начнем построение дерева с корня, отмеченного стартовым символом. Рассмотрим порождение пошагово. На каждом шаге заменяется переменная, и эта переменная будет соответствовать построенному крайнему слева узлу дерева, не имеющему сыновей, но отмеченному этой переменной. По продукции, использованной на этом шаге левого порождения, определим, какие сыновья должны быть у этого узла. Если существуют два разных порождения, то на первом шаге, где они различаются, построенные узлы получат разные списки сыновей, что гарантирует различие деревьев разбора.
}}
==Однозначные грамматики==
{{Определение
|definition=
Грамматика называется '''однозначной''' (англ. ''unambiguous grammar''), если у каждого слова имеется не более одного дерева разбора в этой грамматике.
}}
{{Лемма
|id=lemma-
|statement=
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} однозначная грамматика. Тогда <tex>\forall \omega \in \mathbb{L}(\Gamma)</tex> существует ровно один левосторонний (правосторонний) вывод.
|proof=
Очевидно, что по дереву разбора однозначно восстанавливается левосторонний(правосторонний) вывод. Поскольку каждое слово из языка выводится только одним деревом разбора, то существует только один левосторонний(правосторонний) вывод этого слова.
}}
{{Утверждение
|statement = Грамматика из примера не является однозначной.|proof =Выше уже было построено дерево разбора для слова <tex>"(()(()))()"</tex>.
Построим еще одно дерево разбора для данного слова.
Например, оно будет выглядеть так:
[[Файл:BracketsSequenceParsingTree2.png]]
Таким образом, существует слово, у которого есть более одного дерева разбора в данной грамматике <tex>\Rightarrow</tex> эта грамматика не является однозначной.
}}
}}
Однако, есть КС-языки, для которых не существует однозначных КС-грамматик. Такие языки и грамматики их порождающие называют '''существенно неоднозначными'''.
{{main|Существенно неоднозначные языки}}
==См. также==
* [[Существенно неоднозначные языки]]
== Литература Источники информации ==
* [[wikipedia:Context-free grammar | Wikipedia {{---}} Context-free grammar]]
* [[wikipedia:ru:Контекстно-свободная грамматика | Википедия {{---}} Контекстно-свободная грамматика]]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Базовые понятия о грамматиках]]
