Редактирование: Контексты и синтаксические моноиды

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 11: Строка 11:
 
|proof=
 
|proof=
 
[[Файл:Автомат и правые контексты 1.png|315px|thumb|right|Автомат на правых контекстах. Легенда: <font color=orchit>начальное</font> / <font color=orange>промежуточное</font> / <font color=red>дьявольское</font> / <font color=yelloworange>терминальное</font> состояния; <font color=grey>контекст</font>]]
 
[[Файл:Автомат и правые контексты 1.png|315px|thumb|right|Автомат на правых контекстах. Легенда: <font color=orchit>начальное</font> / <font color=orange>промежуточное</font> / <font color=red>дьявольское</font> / <font color=yelloworange>терминальное</font> состояния; <font color=grey>контекст</font>]]
<tex>\Leftarrow</tex>
+
<tex>\Leftarrow</tex>quad
 +
<br/>
  
 
:Пусть множество правых контекстов языка конечно. Построим распознающий его автомат. Состояния автомата будут соответствовать различным правым контекстам. Таким образом, каждая вершина автомата соответствует множеству допустимых «продолжений» считанного на данный момент слова. Переход по некоторому символу из одного состояния в другое осуществляется, если контекст, соответствующий первому состоянию, содержит все элементы, которые получаются приписыванием этого символа в начало элементам контекста, соответствующего второму. Вершина, соответствующая контексту пустого слова, является стартовой  <tex>\left( C_L^R(\varepsilon) = L \right)</tex>. Вершины, контексты которых содержат <tex>\varepsilon</tex>, должны быть допускающими.
 
:Пусть множество правых контекстов языка конечно. Построим распознающий его автомат. Состояния автомата будут соответствовать различным правым контекстам. Таким образом, каждая вершина автомата соответствует множеству допустимых «продолжений» считанного на данный момент слова. Переход по некоторому символу из одного состояния в другое осуществляется, если контекст, соответствующий первому состоянию, содержит все элементы, которые получаются приписыванием этого символа в начало элементам контекста, соответствующего второму. Вершина, соответствующая контексту пустого слова, является стартовой  <tex>\left( C_L^R(\varepsilon) = L \right)</tex>. Вершины, контексты которых содержат <tex>\varepsilon</tex>, должны быть допускающими.
Строка 49: Строка 50:
 
:: <tex>j) C_L^R(111) = \{ \varepsilon \} </tex> <br><br />
 
:: <tex>j) C_L^R(111) = \{ \varepsilon \} </tex> <br><br />
 
:: <tex>k) C_L^R(X) = \varnothing </tex>, где <tex> X </tex> {{---}} множество остальных аргументов. <br><br />
 
:: <tex>k) C_L^R(X) = \varnothing </tex>, где <tex> X </tex> {{---}} множество остальных аргументов. <br><br />
: Начальное состояние {{---}} <tex>a</tex> . Допускающие состояния: <tex>d, g, j</tex> (в них <tex> \varepsilon \in C_L^R(\ldots) </tex>). Состояние <tex>k</tex> {{---}} [[Детерминированные_конечные_автоматы#допускает|дьявольское]]. Всего 8 состояний (именно столько имеется различных контекстов).
+
: Начальное состояние {{---}} <tex>a</tex> . Допускающие состояния: <tex>d, g, j</tex> (в них <tex> \varepsilon \in C_L^R(...) </tex>). Состояние <tex>k</tex> {{---}} [[Детерминированные_конечные_автоматы#допускает|дьявольское]]. Всего 8 состояний (именно столько имеется различных контекстов).
 
:[[Файл:Автомат и правые контексты 3.png|350px|thumb|right|Автомат к языку <tex> 0^*11 </tex>]]
 
:[[Файл:Автомат и правые контексты 3.png|350px|thumb|right|Автомат к языку <tex> 0^*11 </tex>]]
 
==== Пример 2  ====
 
==== Пример 2  ====
Строка 99: Строка 100:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Синтаксическим моноидом''' (англ. ''syntactic monoid'') <tex>M(L)</tex> языка <tex>L</tex> называется множество, состоящее из его классов эквивалентности <tex>[[x]] = \{ y \in \Sigma^* \mid C_L(x) = C_L(y) \} \ </tex>, с введённым на нём операцией конкатенации <tex>\circ</tex>, где <tex>[[x]]\circ[[y]] = [[xy]] \ \ </tex>. Нейтральным элементом в нём является <tex>[[\varepsilon]]</tex>.
+
'''Синтаксическим моноидом''' (англ. ''syntactic monoid'') <tex>M(L)</tex> языка <tex>L</tex> называется множество, состоящее из его классов эквивалентности <tex>[[x]] = \{ y \in \Sigma^* \mid C_L(x) = C_L(y) \}</tex>, с введённым на нём операцией конкатенации <tex>\circ</tex>, где <tex>[[x]]\circ[[y]] = [[xy]] \ \ </tex>. Нейтральным элементом в нём является <tex>[[\varepsilon]]</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 123: Строка 124:
 
Введём следующее отношение эквивалентности на строках:
 
Введём следующее отношение эквивалентности на строках:
 
<br/><tex>x \cong y \Leftrightarrow \forall q \in Q: q \cdot x = q \cdot y</tex>
 
<br/><tex>x \cong y \Leftrightarrow \forall q \in Q: q \cdot x = q \cdot y</tex>
<br/>Оценим количество классов, на которые отношение <tex>\cong</tex> разбивает язык <tex>L</tex>. Для этого пронумеруем состояния, и каждому слову <tex>  \omega</tex> сопоставим вектор <tex> a_{\omega} \in Q^{|Q|} </tex> такой, что <tex> a_{\omega}[i] = q_j \Leftrightarrow q_i \cdot \omega = q_j </tex>. Количество различных таких векторов {{---}} <tex> {|Q|}^{|Q|} </tex><!--- (поскольку <tex> \forall i = 1 \ldots |Q| :\ a[i] = 1 \ldots |Q| </tex>) --->. В то же время неэквивалентным словам соответствуют разные <tex> a </tex>, тогда количество классов эквивалентности также ограничено <tex> {|Q|}^{|Q|} </tex>.
+
<br/>Оценим количество классов, на которые отношение <tex>\cong</tex> разбивает язык <tex>L</tex>. Для этого пронумеруем состояния, и каждому слову <tex>  \omega</tex> сопоставим вектор <tex> a_{\omega} \in Q^{|Q|} </tex> такой, что <tex> a_{\omega}[i] = q_j \Leftrightarrow q_i \cdot \omega = q_j </tex>. Количество различных таких векторов {{---}} <tex> {|Q|}^{|Q|} </tex><!--- (поскольку <tex> \forall i = 1..|Q| :\ a[i] = 1..|Q| </tex>) --->. В то же время неэквивалентным словам соответствуют разные <tex> a </tex>, тогда количество классов эквивалентности также ограничено <tex> {|Q|}^{|Q|} </tex>.
  
 
Остаётся показать, что существует взаимно-однозначное соответствие между нашими классами эквивалентности и синтаксическими моноидами. Смотрим:
 
Остаётся показать, что существует взаимно-однозначное соответствие между нашими классами эквивалентности и синтаксическими моноидами. Смотрим:
 
<br><tex> x \cong y </tex>
 
<br><tex> x \cong y </tex>
 
<br><tex> \Leftrightarrow </tex>
 
<br><tex> \Leftrightarrow </tex>
<br><tex> s \cdot (uxv) = ((s \cdot u) \cdot x) \cdot v = ((s \cdot u) \cdot y) \cdot v = s \cdot (uyv) \ </tex> (пусть <tex> s \cdot u = q </tex> из определения <tex> \cong </tex>, тогда <tex> (s \cdot u) \cdot x = q \cdot x = q' = q \cdot y = (s \cdot u) \cdot y \ </tex>)
+
<br><tex> s \cdot (uxv) = ((s \cdot u) \cdot x) \cdot v = ((s \cdot u) \cdot y) \cdot v = s \cdot (uyv) </tex> (пусть <tex> s \cdot u </tex> равно <tex> q </tex> из определения <tex> \cong </tex>, тогда <tex> (s \cdot u) \cdot x = q \cdot x = q' = q \cdot y = (s \cdot u) \cdot y </tex>)
 
<br><tex> \Leftrightarrow </tex>
 
<br><tex> \Leftrightarrow </tex>
 
<br><tex> s \cdot (uxv) \in T \Leftrightarrow s \cdot (uyv) \in T </tex>
 
<br><tex> s \cdot (uxv) \in T \Leftrightarrow s \cdot (uyv) \in T </tex>
Строка 158: Строка 159:
 
<br/>
 
<br/>
  
:Пусть <tex>[[x]] = [[y]] \ </tex> и <tex>q \in Q</tex>. Тогда <tex>q = s \cdot u</tex> для некоторого слова <tex>u</tex>. Пусть <tex>q_1 = f_x(q) = s \cdot ux</tex> и <tex>q_2 = f_y(q) = s \cdot uy</tex>. Поскольку <tex>[[x]] = [[y]]</tex>, справедливо <tex>uxv \in L \quad \Leftrightarrow \quad uyv \in L</tex>. Следовательно, <tex>q_1 \cdot v \in T \Leftrightarrow q_2 \cdot v \in T</tex>, то есть <tex>q_1</tex> и <tex>q_2</tex> эквивалентны. Значит, <tex>q_1 = q_2</tex>, так как автомат <tex>\mathcal{A}</tex> минимален. То есть, <tex>f_x = f_y</tex>.
+
:Пусть <tex>[[x]] = [[y]]</tex> и <tex>q \in Q</tex>. Тогда <tex>q = s \cdot u</tex> для некоторого слова <tex>u</tex>. Пусть <tex>q_1 = f_x(q) = s \cdot ux</tex> и <tex>q_2 = f_y(q) = s \cdot uy</tex>. Поскольку <tex>[[x]] = [[y]]</tex>, справедливо <tex>uxv \in L \quad \Leftrightarrow \quad uyv \in L</tex>. Следовательно, <tex>q_1 \cdot v \in T \Leftrightarrow q_2 \cdot v \in T</tex>, то есть <tex>q_1</tex> и <tex>q_2</tex> эквивалентны. Значит, <tex>q_1 = q_2</tex>, так как автомат <tex>\mathcal{A}</tex> минимален. То есть, <tex>f_x = f_y</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 165: Строка 166:
 
Рассмотрим язык <tex>L = \{\omega \mid |\omega| \bmod 2 = 0 \}</tex>.
 
Рассмотрим язык <tex>L = \{\omega \mid |\omega| \bmod 2 = 0 \}</tex>.
  
<tex>\{\langle u, v \rangle \mid uxv \in L\}</tex> {{---}} это множество всех пар <tex>\langle u,v \rangle</tex>, таких что <tex>|u| + |v| = |x| \ (\mathrm{mod} \ 2 )</tex>.
+
<tex>\{\langle u, v \rangle \mid uxv \in L\}</tex> {{---}} это множество всех пар <tex>\langle u,v \rangle</tex>, таких что <tex>|u| + |v| = |x|</tex> <tex>(mod</tex> <tex>2)</tex>.
  
 
Значит, <tex>M(L)</tex> состоит из двух элементов: множества слов чётной длины и множества слов нечётной длины. Нейтральным элементом в данном моноиде является множество слов чётной длины.  
 
Значит, <tex>M(L)</tex> состоит из двух элементов: множества слов чётной длины и множества слов нечётной длины. Нейтральным элементом в данном моноиде является множество слов чётной длины.  
Строка 174: Строка 175:
 
Язык <tex>L</tex> над алфавитом <tex>\Sigma = \{0,1\}</tex> задан регулярным выражением <tex>1(0|1)^*</tex>. Его синтаксический моноид <tex>M(L)</tex> содержит три элемента:
 
Язык <tex>L</tex> над алфавитом <tex>\Sigma = \{0,1\}</tex> задан регулярным выражением <tex>1(0|1)^*</tex>. Его синтаксический моноид <tex>M(L)</tex> содержит три элемента:
  
:<tex>a)</tex> <tex>[[\varepsilon]] \ </tex> {{---}} нейтральный элемент. Включает в себя только пустую строку.
+
:<tex>a)</tex> <tex>[[\varepsilon]]</tex> {{---}} нейтральный элемент. Включает в себя только пустую строку.
  
:<tex>b)</tex> <tex>[[0]] \ </tex> содержит все строки, распознаваемые регулярным выражением <tex>0(0|1)^*</tex>. <tex>\forall x \in [[0]]: C_L(x) = \{\langle u, v \rangle \mid u \in L, v \in \Sigma^* \}</tex>.
+
:<tex>b)</tex> <tex>[[0]]</tex> содержит все строки, распознаваемые регулярным выражением <tex>0(0|1)^*</tex>. <tex>\forall x \in [[0]]: C_L(x) = \{\langle u, v \rangle \mid u \in L, v \in \Sigma^* \}</tex>.
  
:<tex>c)</tex> <tex>[[1]] \ </tex> содержит все строки, принадлежащие языку, то есть, распознаваемые регулярным выражением <tex>1(0|1)^*</tex>. <tex>\forall x \in [[1]]: C_L(x) = C_L(\varepsilon) \cup \{\langle \varepsilon, v \rangle \mid v \in \Sigma^* \}</tex>.
+
:<tex>c)</tex> <tex>[[1]]</tex> содержит все строки, принадлежащие языку, то есть, распознаваемые регулярным выражением <tex>1(0|1)^*</tex>. <tex>\forall x \in [[1]]: C_L(x) = C_L(\varepsilon) \cup \{\langle \varepsilon, v \rangle \mid v \in \Sigma^* \}</tex>.
  
Заметим, что <tex>[[0]] \ </tex> и <tex>[[1]] \ </tex> не имеют обратных элементов в данном моноиде, так как нейтральный элемент содержит только пустую строку, а её невозможно получить из непустой с помощью конкатенации. Следовательно <tex>L</tex> не является групповым языком.
+
Заметим, что <tex>[[0]]</tex> и <tex>[[1]]</tex> не имеют обратных элементов в данном моноиде, так как нейтральный элемент содержит только пустую строку, а её невозможно получить из непустой с помощью конкатенации. Следовательно <tex>L</tex> не является групповым языком.
  
 
====Язык из последовательных N нулей и N единиц====
 
====Язык из последовательных N нулей и N единиц====
Строка 188: Строка 189:
  
 
Значит, синтаксический моноид <tex>M(L)</tex> имеет бесконечное количество элементов, что значит, что данный язык не является регулярным.
 
Значит, синтаксический моноид <tex>M(L)</tex> имеет бесконечное количество элементов, что значит, что данный язык не является регулярным.
 
== См. также ==
 
 
* [[Анализ свойств регулярных языков (пустота, совпадение, включение, конечность, подсчёт числа слов)|Анализ свойств регулярных языков]]
 
* [[Доказательство нерегулярности языков: лемма о разрастании]]
 
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)