Изменения

<b>Корреляция случайных величинСреднеквадратичным отклонением</b>(англ. ''standart deviation'') <tex>\sigma_{\eta}</tex> называется величина, равная квадратному корню из [[Дисперсия_случайной_величины | дисперсии]] случайной величины <tex>\eta</tex>: пусть <tex>\sigma_{\eta}=\sqrt{D(\eta)}</tex>}}{{Определение|definition=Пусть <tex>\eta,\xi</tex> — {{---}} две [[Дискретная_случайная_величина | случайные величины]], определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их корреляция определяется следующим образом<b> корреляцией случайных величин </b> (англ. correlation) <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> называется выражение следующего вида:: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=\dfrac{\mathrm{Cov}(\eta,\xi) \over }{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}</tex>, где <tex>\sigma_{\eta}=\sqrtmathrm{D(\eta)Cov}</tex> называется среднеквадратичным отклонением и равно квадратному корню из [[Дисперсия_случайной_величины | дисперсии]], а <tex>Cov(\eta,\xi)</tex> {{-- -}} [[Ковариация_случайных_величин | ковариацией ковариация случайных величин]].

Заметим, что <tex>\sigma_{\xi} = \sqrt{D(\xi)} = E\big((\xi-E(\xi))^2\big)</tex>{{---}} среднеквадратичное отклонение.: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=\dfrac{\mathrm{Cov}(\eta,\xi) \over }{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}} = \dfrac{E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big) \over }{{\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)}}} =\dfrac{E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}</tex> == Корреляция и взаимосвязь величин ==Значительная корреляция между случайными величинами всегда означает, что присутствует некая взаимосвязь между значениями конкретной выборки, но при другой выборке связь вполне может отсутствовать. Поэтому при нахождении взаимосвязи не нужно делать поспешных выводов о причинно-следственном характере величин, а следует рассмотреть наиболее полную выборку, чтобы делать какие-либо выводы. Коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи, но не более того.

: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = \mathrm{Corr}(\xi,\eta)</tex>.

: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = \dfrac{ E(\eta \times \xi) - E(\eta) \times E(\xi) \over }{\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)} } = \dfrac{ E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{\sqrt{D(\xi)} \times \sqrt{D(\eta)} } = \mathrm{Corr}(\xi,\eta)</tex>.

Корреляция лежит на отрезке случайной величины с собой равна <tex>[-1, 1]</tex>:.

Для доказательства используем свойства ковариации: <tex>Cov^2\mathrm{Corr}(\eta, \xieta) = \le dfrac{ E(\sigma_eta \eta ^2) - E(\sigma_eta) E(\eta)}{\xi ^2</tex>из этого выходит <tex> sqrt{Cov^2D(\eta,\xi)} \oversqrt{D(\sigma_\eta ^2)} } = \sigma_dfrac{D(\xi ^2eta)} {D(\le eta)} = 1</tex> }}

при условии{{Утверждение|statement=Корреляция лежит на отрезке <tex>[-1, конечно, что знаменатель не обращается в нуль1]</tex>.

Если <tex> \mathrm{Corr}(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>, то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимые |proof=Для доказательство используем доказательство свойства ковариации. Так как у нас <tex> Corr(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>то это обозначает что <tex>Cov^2(\eta,\xi) = \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>равенство на этом неравенстве <tex>\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge 0</tex> выполняется только при условии что дискриминант равен нулю т.е. имеет один корень <tex> t_0 </tex>зависимы.

Если <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы , то <tex>\mathrm{Corr}(\eta, \xi)= \pm 1 </tex>. |proof=Предположим что <tex>\xi = k \eta + b</tex>.Потом, мы имеем что <tex>E\xi=kE\eta + b</tex>; и так<tex> Cov(\eta, \xi) = E((\eta - E\eta)(\xi - E\xi))=kE((\eta-E\eta)^2)=k\sigma_\eta ^2 </tex>. Кроме того, по свойствам дисперсии,<tex> \sigma_\xi ^2 = D[\xi] = E((\xi-E\xi)^2)= k^2 E((\eta-E\eta)^2)= k^2 \sigma_\eta ^2 </tex>

Если <tex>\eta,\xi</tex> независимые случайные величины, то: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = 0</tex>.

Пусть <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> {{-- -}} [[Независимые_случайные_величины|независимые величины]]. Тогда <tex>E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)</tex>, где <tex>E</tex> {{--- }} их [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]]. Получаем:: <tex dpi >\mathrm{Corr}(\eta, \xi) = "150">\dfrac{E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{{E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0</tex>

Пусть <tex>\eta</tex> {{- --}} [[Дискретная_случайная_величина|случайная величина]], распределенная симметрично около <tex>0</tex>, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> {{--- }} зависимые величины.

В общем смысле корреляция {{- --}} это зависимость между случайными величинами, когда изменение одной влечет изменение распределения другой.

[[Файл:Пример_графиков_корреляции.png|600px|thumb|right|3 диаграммы рассеивания двух случайных величин <tex>X </tex> и <tex>Y</tex>]] 1. Соответственно, на '''первом графике''' изображена '''положительная корреляция''', когда увеличение Y ведет к постепенному увеличению X. 2. '''Второй график''' отображает '''отрицательную корреляцию''', когда увеличение X воздействует на постепенное уменьшение Y.

3#Соответственно, на '''первом графике''' изображена '''положительная корреляция''', когда увеличение <tex>Y</tex> ведет к постепенному увеличению <tex>X</tex>.#'''Второй график''' отображает '''отрицательную корреляцию''', когда увеличение <tex>X</tex> воздействует на постепенное уменьшение <tex>Y</tex>. #'''Третий график''' показывает, что <tex>X </tex> и <tex>Y </tex> связаны слабо, их распределение не зависит от изменения друг друга, поэтому корреляция между ними будет '''равна <tex>0</tex>'''.

Рассмотрим <tex>2 </tex> случайные величины: курс акций нефтедобывающей компании (<tex>X</tex>) и цены на нефть (<tex>Y</tex>).

{| borderclass="1wikitable"

! X || <tex>2003,6 </tex> || <tex>2013,2 </tex> || <tex>2007,6 </tex> || <tex>2007,4 </tex> || <tex>2039,9 </tex> || <tex>2025 </tex> || <tex>2007 </tex> || <tex>2017 </tex> || <tex>2015,6 </tex> || <tex>2011</tex>

! Y || <tex>108,4 </tex> || <tex>107,96 </tex> || <tex>108,88 </tex> || <tex>110,44 </tex> || <tex>110,2 </tex> || <tex>108,97 </tex> || <tex>109,15 </tex> || <tex>108,8 </tex> || <tex>111,2 </tex> || <tex>110,23</tex>

Для упрощения вычислений определим <tex>X </tex> и <tex>Y </tex> как равновероятные случайные величины. Тогда их математическое ожидание и дисперсию легко посчитать:

Используя формулу, <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=\dfrac{E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}</tex> определяем, что корреляция между величинами <tex>X </tex> и <tex>Y </tex> составляет <tex>0,240935496</tex>, т.е. то есть <tex>24\%</tex>. == См. также ==*[[Дисперсия случайной величины|Дисперсия случайной величины]]*[[Ковариация случайных величин|Ковариация случайных величин]]

== Ссылки Источники информации ==