Изменения

<b>Корреляция случайных величинСреднеквадратичным отклонением</b>(англ. ''standart deviation'') <tex>\sigma_{\eta}</tex> называется величина, равная квадратному корню из [[Дисперсия_случайной_величины | дисперсии]] случайной величины <tex>\eta</tex>: пусть <tex>\sigma_{\eta}=\sqrt{D(\eta)}</tex>}}{{Определение|definition=Пусть <tex>\eta,\xi</tex> — {{---}} две [[Независимые_случайные_величины Дискретная_случайная_величина | случайные величины]], определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их корреляция определяется следующим образом<b> корреляцией случайных величин </b> (англ. correlation) <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> называется выражение следующего вида:: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=\dfrac{\mathrm{Cov}(\eta,\xi) \over }{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}</tex>, где <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi)</tex> {{---}} [[Ковариация_случайных_величин | ковариация случайных величин]].

Заметим, что <tex>\sigma_{\xi} = \sqrt{D(\xi)} = E\big((\xi-E(\xi))^2\big)</tex>{{---}} среднеквадратичное отклонение.: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=\dfrac{\mathrm{Cov}(\eta,\xi) \over }{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}} = \dfrac{E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big) \over }{{\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)}}} =\dfrac{E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{{\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}</tex> == Корреляция и взаимосвязь величин ==Значительная корреляция между случайными величинами всегда означает, что присутствует некая взаимосвязь между значениями конкретной выборки, но при другой выборке связь вполне может отсутствовать. Поэтому при нахождении взаимосвязи не нужно делать поспешных выводов о причинно-следственном характере величин, а следует рассмотреть наиболее полную выборку, чтобы делать какие-либо выводы. Коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи, но не более того.

* {{Утверждение|statement=Корреляция симметрична:: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = \mathrm{Corr}(\xi,\eta)</tex>.|proof=: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = \dfrac{ E(\eta \xi) - E(\eta) E(\xi)}{\sqrt{D(\eta)} \sqrt{D(\xi)} } = \dfrac{ E(\xi \eta) - E(\xi) E(\eta)}{\sqrt{D(\xi)} \sqrt{D(\eta)} } = \mathrm{Corr}(\xi,\eta)</tex>.}} {{Утверждение|statement=Корреляция случайной величины с собой равна <tex>1</tex>.|proof=: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\eta) = \dfrac{ E(\eta \eta) - E(\eta) E(\eta)}{\sqrt{D(\eta)} \sqrt{D(\eta)} } = \dfrac{D(\eta)}{D(\eta)} = 1</tex>}} {{Утверждение|statement=Корреляция лежит на отрезке <tex>[-1, 1]</tex>.   }} {{Утверждение|statement=Если <tex> \mathrm{Corr}(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>,то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы.  }} {{Утверждение|statement=Если <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы, то <tex>\mathrm{Corr}(\eta, \xi)= \pm 1 </tex>. 

* Корреляция случайной величины с собой равна 1:: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\eta) = { E(\eta \times \eta) - E(\eta) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\eta)} } = {D(\eta) \over D(\eta)} = 1</tex>

* {{Утверждение|statement=Если <tex>\eta,\xi</tex> независимые случайные величины, то: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = 0</tex>.|proof=Пусть <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> {{-- -}} [[Независимые_случайные_величины|независимые величины]]. Тогда <tex>E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)</tex>, где <tex>E</tex> {{-- -}} их [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]]. Получаем:: <tex dpi >\mathrm{Corr}(\eta, \xi) = "150">\dfrac{E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{{E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0</tex>

Пусть <tex>\eta</tex> {{- --}} [[Дискретная_случайная_величина|случайная величина]], распределенная симметрично около <tex>0</tex>, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> {{--- }} зависимые величины.}} == Примеры ==В общем смысле корреляция {{---}} это зависимость между случайными величинами, когда изменение одной влечет изменение распределения другой.=== Определение корреляции по диаграмме ===[[Файл:Пример_графиков_корреляции.png|600px|thumb|right|3 диаграммы рассеивания двух случайных величин <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>]]

* Корреляция лежит не #Соответственно, на всей вещественной оси: '''первом графике''' изображена '''положительная корреляция''', когда увеличение <tex>Y</tex> ведет к постепенному увеличению <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1X</tex>.Для доказательства используем свойство [[Ковариация_случайных_величин|ковариации]]: #'''Второй график''' отображает '''отрицательную корреляцию''', когда увеличение <tex>|Cov(\eta,\xi)| \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}X</tex>. Тогда при раскрытии модуля получаем:: воздействует на постепенное уменьшение <tex>-\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)} \leqslant Cov(\eta,\xi) \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}Y</tex>. Поделим левую и правую части на #'''Третий график''' показывает, что <tex>\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}X</tex> и получим: <tex dpi = "150">-1 \leqslant {Cov(\eta,\xi) \over \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}} \leqslant 1Y</tex>связаны слабо, их распределение не зависит от изменения друг друга, т.е. : поэтому корреляция между ними будет '''равна <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 10</tex>, ч.т.д'''.

== Примеры =Определение корреляции по таблице ===Рассмотрим <tex>2</tex> случайные величины: курс акций нефтедобывающей компании (<tex>X</tex>) и цены на нефть (<tex>Y</tex>). {| class="wikitable"|-! X | <tex>2003,6</tex> || <tex>2013,2</tex> || <tex>2007,6</tex> || <tex>2007,4</tex> || <tex>2039,9</tex> || <tex>2025</tex> || <tex>2007</tex> || <tex>2017</tex> || <tex>2015,6</tex> || <tex>2011</tex>|-! Y | <tex>108,4</tex> || <tex>107,96</tex> || <tex>108,88</tex> || <tex>110,44</tex> || <tex>110,2</tex> || <tex>108,97</tex> || <tex>109,15</tex> || <tex>108,8</tex> || <tex>111,2</tex> || <tex>110,23</tex>|-|}Для упрощения вычислений определим <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> как равновероятные случайные величины. Тогда их математическое ожидание и дисперсию легко посчитать: <tex>E(X) = 2014,73</tex> <tex>E(Y) = 109,42</tex> <tex>D(X) = 104,9361</tex> <tex>D(Y) = 0,959661</tex> Используя формулу, <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=\dfrac{E(\xi \eta) - E(\xi)E(\eta)}{{\sigma_{\eta} \sigma_{\xi}}}</tex> определяем, что корреляция между величинами <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> составляет <tex>0,240935496</tex>, то есть <tex>24\%</tex>. == См. также ==*[[Файл:Пример_графиков_корреляции.pngДисперсия случайной величины|Дисперсия случайной величины]]*[[Ковариация случайных величин|Ковариация случайных величин]]

== Ссылки Источники информации ==