66
правок
Изменения
м
Если рассмотреть лист Докажем по индукции по обычной высоте $h(фиктивную вершинуx)$, то для нее лемма верна. Рассмотрим внутреннюю вершину что поддерево любого узла <tex>x</tex>. Пусть с черной высотой <tex>hb(x)=h'</tex>. Тогда если ее потомок содержит не менее <tex>p2^{hb(x)-1} - 1</tex> внутренних узлов.Здесь $h(x)$ {{---}} черный, кратчайшее расстояние от вершины $x$ до какого-то из листьев. '''База индукции:''' Если высота узла <tex>x</tex> равна <tex>hb(p)=h'-1</tex>, а если красныйто <tex>x</tex> {{---}} это лист, то <tex>hb(px) = h'1</tex>. Таким образом, по предположению индукции, в поддеревьях содержится не менее <tex>2^{h'1-1}-1= 0</tex> вершин. '''Переход:''' Так как любая внутренняя вершина (вершина, а во всём деревеу которой высота положительна) имеет двух потомков, то применим предположение индукции к ним {{---}} их высоты на единицу меньше высоты $x$.Тогда черные высоты детей могут быть $hb(x)$ или $hb(x)-1$ {{---}} если потомок красный или черный соответственно, . Тогда по предположению индукции в каждом из поддеревьев не менее <tex>$2^{h'hb(x)-2}-1 + $ вершин. Тогда всего в поддереве не менее $2\cdot(2^{h'hb(x)-2}-1 )+ 1=2^{h'hb(x)-1}-1$ вершин ($+1$ {{---}} мы учли еще саму вершину $x$). Переход доказан.Теперь, если мы рассмотрим корень всего дерева в качестве $x$, то получится, что всего вершин в дереве не менее $2^{hb-1}-1</tex>$. Следовательно, утверждение верно и для всего дерева.
Так как только черные узлы могут иметь красных детейПо доказанной лемме, то для количества внутренних вершин в самом длинном пути от корня до листа красных вершин будет точно не больше половины, поэтому если обычная высота дерева равна <tex>h</tex>, то черная высота дерева будет не меньше дереве <tex>h/2-1N</tex> и, по лемме, количество внутренних вершин в деревевыполняется неравенство:
1. "Дядя" этого узла тоже красный. Тогда, чтобы сохранить свойства <tex>3</tex> и <tex>4</tex>, просто перекрашиваем "отца" и "дядю" в чёрный цвет, а "деда" {{-[[Файл:Untitled--}} в красный. В таком случае черная высота в этом поддереве одинакова для всех листьев и у всех красных вершин "отцы" черные. Проверяем, не нарушена ли балансировка. Если в результате этих перекрашиваний мы дойдём до корня, то в нём в любом случае ставим чёрный цвет, чтобы дерево удовлетворяло свойству <tex>2</tex>. png|250px|]]
[[Файл'''Псевдокод:Untitled''' '''func''' insert(key) Node t = Node(key, red, ''nil'', ''nil'') <font color=green>// конструктор, в который передаем ключ, цвет, левого и правого ребенка </font> '''if''' дерево пустое root = t t.parent = ''nil'' '''else''' Node p = root Node q = ''nil'' '''while''' p != ''nil'' <font color=green>// спускаемся вниз, пока не дойдем до подходящего листа </font> q = p '''if''' p.key < t.key p = p.right '''else''' p = p.left t.parent = q <font color=green>// добавляем новый элемент красного цвета </font> '''if''' q.key < t.key q.right = t '''else''' q.left = t fixInsertion(t) <font color=green>// проверяем, не нарушены ли свойства красно-1.png|200px]]черного дерева </font>
2. '''func''' fixInsertion(t: '''Node''') '''if''' t {{---}} корень t = black '''return''' <font color=green>// далее все предки упоминаются относительно t </font> '''while''' "Дядяотец" чёрный. Если выполнить только перекрашивание, то может нарушиться постоянство чёрной высоты дерева по всем ветвям. Поэтому выполняем поворот. Если добавляемый узел был правым потомком, то необходимо сначала выполнить левое вращение, которое сделает его левым потомком. Таким образом, красный <font color=green>// нарушается свойство <tex>3</tex> и постоянство черной высоты сохраняются.</font> '''if''' "отец" {{---}} левый ребенок '''if''' есть "дядя" '''if''' "дядя" красный parent = black uncle = black grandfather = red t = grandfather '''else''' <font color=green>// случай, когда нет "дяди" </font> '''if''' t {{---}} правый сын t = parent leftRotate(t) parent = black grandfather = red rightRotate(grandfather) '''else''' <font color=green>// "отец" {{---}} правый ребенок </font> '''if''' есть "дядя" '''if''' "дядя" красный parent = black uncle = black grandfather = red t = grandfather[[Файл:Untitled '''else''' <font color=green>// нет "дяди" </font> '''if''' t {{---2}} левый ребенок t = t.png|250px|]]parent rightRotate(t) parent = black grandfather = red leftRotate(grandfather) root = black <font color=green>// восстанавливаем свойство корня </font>
# * Если у вершины нет детей, то изменяем указатель на неё у родителя на <tex>nil</tex>.# * Если у неё только один ребёнок, то делаем у родителя ссылку на него вместо этой вершины.# * Если же имеются оба ребёнка, то находим вершину со следующим значением ключа. У такой вершины нет левого ребёнка (так как такая вершина находится в правом поддереве исходной вершины и она самая левая в нем, иначе бы мы взяли ее левого ребенка. Иными словами сначала мы переходим в правое поддерево, а после спускаемся вниз в левое до тех пор, пока у вершины есть левый ребенок). Удаляем уже эту вершину описанным во втором пункте способом, скопировав её ключ в изначальную вершину.
1. * Если брат этого ребёнка красный, то делаем вращение вокруг ребра между отцом и братом, тогда брат становится родителем отца. Красим его в чёрный, а отца {{---}} в красный цвет, сохраняя таким образом черную высоту дерева. Хотя все пути по-прежнему содержат одинаковое количество чёрных узлов, сейчас <tex>x</tex> имеет чёрного брата и красного отца. Таким образом, мы можем перейти к следующему шагу. *:*:[[Файл:Untitled-3.png|400px|]]*:* Если брат текущей вершины был чёрным, то получаем три случая:** Оба ребёнка у брата чёрные. Красим брата в красный цвет и рассматриваем далее отца вершины. Делаем его черным, это не повлияет на количество чёрных узлов на путях, проходящих через <tex>b</tex>, но добавит один к числу чёрных узлов на путях, проходящих через <tex>x</tex>, восстанавливая тем самым влиянние удаленного чёрного узла. Таким образом, после удаления вершины черная глубина от отца этой вершины до всех листьев в этом поддереве будет одинаковой.**:**:[[Файл:Untitled-4.png|400px|]]**:** Если у брата правый ребёнок чёрный, а левый красный, то перекрашиваем брата и его левого сына и делаем вращение. Все пути по-прежнему содержат одинаковое количество чёрных узлов, но теперь у <tex>x</tex> есть чёрный брат с красным правым потомком, и мы переходим к следующему случаю. Ни <tex>x</tex>, ни его отец не влияют на эту трансформацию.**:**:[[Файл:Untitled-5.png|400px|]]**:** Если у брата правый ребёнок красный, то перекрашиваем брата в цвет отца, его ребёнка и отца {{---}} в чёрный, делаем вращение. Поддерево по-прежнему имеет тот же цвет корня, поэтому свойство <tex>3</tex> и <tex>4</tex> не нарушаются. Но у <tex>x</tex> теперь появился дополнительный чёрный предок: либо <tex>a</tex> стал чёрным, или он и был чёрным и <tex>b</tex> был добавлен в качестве чёрного дедушки. Таким образом, проходящие через <tex>x</tex> пути проходят через один дополнительный чёрный узел. Выходим из алгоритма.**:**: [[Файл:Untitled-6.png|400px|]] Продолжаем тот же алгоритм, пока текущая вершина чёрная и мы не дошли до корня дерева.Из рассмотренных случаев ясно, что при удалении выполняется не более трёх вращений. '''Псевдокод:''' '''func''' delete(key) Node p = root <font color=green>// находим узел с ключом key</font> '''while''' p.key != key '''if''' p.key < key p = p.right '''else''' p = p.left '''if''' у p нет детей '''if''' p {{---}} корень root = ''nil'' '''else''' ссылку на p у "отца" меняем на ''nil'' '''return''' Node y = ''nil'' Node q = ''nil'' '''if''' один ребенок ссылку на у от "отца" меняем на ребенка y '''else''' <font color=green>// два ребенка</font> y = вершина, со следующим значением ключа <font color=green>// у нее нет левого ребенка </font> '''if''' y имеет правого ребенка y.right.parent = y.parent '''if''' y {{---}} корень root = y.right '''else''' у родителя ссылку на y меняем на ссылку на первого ребенка y '''if''' y != p p.colour = y.colour p.key = y.key '''if''' y.colour == black <font color=green>// при удалении черной вершины могла быть нарушена балансировка</font> fixDeleting(q) '''func''' fixDeleting(p: '''Node''') <font color=green>// далее родственные связи относительно p</font> '''while''' p {{---}} черный узел и не корень '''if''' p {{---}} левый ребенок '''if''' "брат" красный brother = black parent = red leftRotate(parent) '''if''' у "брата" черные дети <font color=green>// случай <tex>1:</tex> "брат" красный с черными детьми</font> brother = red '''else''' '''if''' правый ребенок "брата" черный <font color=green>// случай, рассматриваемый во втором подпункте:</font> brother.left = black <font color=green>// "брат" красный с черными правым ребенком</font> brother = red rightRotate(brother) brother.colour = parent.colour <font color=green>// случай, рассматриваемый в последнем подпункте</font> parent = black brother.right = black leftRotate(parent) p = root '''else''' <font color=green>// p {{---}} правый ребенок</font> <font color=green>// все случаи аналогичны тому, что рассмотрено выше</font> '''if''' "брат" красный brother = black parent = red rightRotate(p.parent) '''if''' у "брата" черные дети brother = red '''else''' '''if''' левый ребенок "брата" черный brother.right = black brother = red leftRotate(brother); brother = parent parent = black brother.left = black rightRotate(p.parent) p = root p = black root = black === Объединение красно-чёрных деревьев ===Объединение двух красно-чёрных деревьев <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex> по ключу <tex>k</tex> возвращает дерево с элементами из $T_2$, $T_1$ и $k$. Требование: ключ $k$ {{---}} разделяющий. То есть $\forall k_1\in T_1, k_2 \in T_2: k_1\leqslant k\leqslant k_2$. Если оба дерева имеют одинаковую черную высоту, то результатом будет дерево с черным корнем $k$, левым и правым поддеревьями $k_1$ и $k_2$ соответствено. Теперь пусть у $T_1$ черная высота больше (иначе аналогично). * Находим в дереве $T_1$ вершину $y$ на черной высоте, как у дерева $T_2$ вершину с максимальным ключом. Это делается несложно (особенно если мы знаем черную высоту дерева): спускаемся вниз, поддерживая текущую черную высоту.*:Идем вправо. Когда высота станет равной высоте $T_2$, остановимся.*:Заметим, что черная высота $T_2\geqslant 2$. Поэтому в дереве $T_1$ мы не будем ниже, чем $2$. Пусть мы не можем повернуть направо (сын нулевой), тогда наша высота $2$ (если мы в черной вершине) или $1$ (если в красной). Второго случая быть не может, ибо высота $T_2\geqslant 2$, а в первом случае мы должны были завершить алгоритм, когда пришли в эту вершину.*:Очевидно, мы окажемся в черной вершине (ибо следующий шаг даст высоту меньше). Очевидно, мы оказались на нужной высоте.*:Теперь пусть мы попали не туда. То есть существует путь от корня до другой вершины. Посмотрим на то место, где мы не туда пошли. Если мы пошли вправо, а надо бы влево, то $x$ имеет больший ключ (по свойству дерева поиска). А если пошли влево, а не вправо, значит правого сына и нет (точнее, есть, но он нулевой), значит в правом поддереве вообще нет вершин.*:Более того, все вершины с высотами меньше $y$, которые имеют ключ больше $y$, будут находиться в поддереве $y$. Действительно, мы всегда идем вправо. Инвариант алгоритма на каждом шаге {{---}} в поддереве текущей вершины содержатся все вершины, ключ которых больше текущего. Проверяется очевидно.*:Еще поймем, как будем хранить черную высоту дерева. Изначально она нулевая (в пустом дереве). Далее просто поддерживаем ее при операциях вставки и удаления.* Объединим поддерево. $k$ будет корнем, левым и правым сыновьями будут $T_y$ и $T_2$ соответственно.*:Покажем, что свойства дерева поиска не нарушены.*:Так как все ключи поддерева $y$ не более $k$ и все ключи $T_2$ не менее $k$, то в новом поддереве с корнем $k$ свойства выполняются.*:Так как $k$ больше любого ключа из $T_1$, то выполняется и для всего дерева.* Красим $k$ в красный цвет. Тогда свойство $4$ будет выполнено. Далее поднимаемся вверх, как во вставке операциях, поворотами исправляя нарушение правила $3$.* В конце корень красим в черный, если до этого был красный (это всегда можно сделать, ничего не нарушив). '''Псевдокод:''' '''func''' join(T_1, T_2, k) '''if''' черные высоты равны return Node(k, black, T_1, T_2) '''if''' высота T_1 больше T' = joinToRight(T_1, T_2, k) T'.color = black return T' '''else''' T' = joinToLeft(T_1, T_2, k) T'.color = black return T' '''func''' joinToRight(T_1, T_2, k) Y = find(T_1, bh(T_2)) T' = Node(k, red, Y, T_2) '''while''' нарушение действуем как во вставке return T' '''func''' find(T, h) curBH = bh(T) curV = T '''while''' curBH != h curV = curV.right '''if''' curV.color == black --curBH return curV Сложность: $\mathcal{O}(T_1.h-T_2.h)=\mathcal{O}(\log(n))$ === Разрезание красно-чёрного дерева ===Разрезание дерева по ключу $k$ вернет два дерева, ключи первого меньше $k$, а второго {{---}} не меньше. Пройдем вниз как во время поиска. Все левые поддеревья вершин пути, корень которых не в пути, будут в первом поддереве. Аналогично правые {{---}} в правом.Теперь поднимаемся и последовательно сливаем деревья справа и слева с ответами.
[[Файл:Untitled-3За счет того, что функция '''$join$''' работает за разницу высот, и мы объединяем снизу, то, благодаря телескопическому эффекту на работу времени будут влиять только крайние слагаемые, которые порядка глубины дерева.png|400px|]]
2'''Псевдокод''' '''func''' split(T, k) '''if''' T = nil return $\langle$nil, nil$\rangle$ '''if''' k < T. Если брат текущей вершины был чёрнымkey $\langle$L', то получаем три случая:R'$\rangle$ = split(L,k)* Оба ребёнка у брата чёрные. Красим брата в красный цвет и рассматриваем далее отца вершины return $\langle$L',join(R',T. Делаем его чернымkey, это не повлияет на количество чёрных узлов на путяхR)$\rangle$ '''else''' $\langle$L', проходящих через <tex>b</tex>R'$\rangle$ = split(R, но добавит один к числу чёрных узлов на путяхk) return $\langle$join(L, проходящих через <tex>x</tex>T.key, восстанавливая тем самым влиянние удаленного чёрного узла. Таким образомL'), после удаления вершины черная глубина от отца этой вершины до всех листьев в этом поддереве будет одинаковой.R)$\rangle$
[[ФайлСложность:Untitled-4.png|400px|]]$\mathcal{O}(\log(n))$
* Если у брата правый ребёнок чёрный, а левый красный, то перекрашиваем брата Точно такой же алгоритм в разрезании AVL деревьев. Оно и его левого сына и делаем вращение. Все пути попонятно {{---прежнему содержат одинаковое количество чёрных узлов, но теперь у <tex>x</tex> есть чёрный брат с красным правым потомком, и мы переходим к следующему случаю. Ни <tex>x</tex>}} нам нужна лишь корректная функция '''$join$''', ни его отец не влияют на эту трансформациюработающая за разницу высот.
* Если у брата правый ребёнок красныйКрасно-чёрные деревья являются наиболее активно используемыми на практике самобалансирующимися деревьями поиска. В частности, ассоциативные контейнеры библиотеки STL(map, то перекрашиваем брата в цвет отцаset, его ребёнка и отца - в чёрныйmultiset, делаем вращение. Поддерево поmultimap) основаны на красно-прежнему имеет тот же цвет корня, поэтому свойство <tex>3</tex> и <tex>4</tex> не нарушаютсячёрных деревьях. Но у <tex>x</tex> теперь появился дополнительный чёрный предок: либо <tex>a</tex> стал чёрным, или он и был чёрным и <tex>b</tex> был добавлен TreeMap в качестве чёрного дедушки. Таким образом, проходящие через <tex>x</tex> пути проходят через один дополнительный чёрный узел. Выходим из алгоритмаJava тоже реализован на основе красно-чёрных деревьев.
Продолжаем тот же алгоритм=== Изоморфизм деревьев === Красно-черные деревья изоморфны [[B-дерево | B-деревьям]] $4$ порядка. Реализация B-деревьев трудна на практике, поэтому для них был придуман аналог, пока текущая вершина чёрная называемый симметричным бинарным B-деревом<ref>[http://rflinux.blogspot.ru/2011/10/red-black-trees.html Абстрактные типы данных {{---}} Красно-чёрные деревья (Red black trees)]</ref>. Особенностью симметричных бинарных B-деревьев является наличие горизонтальных и мы не дошли до корня вертикальных связей. Вертикальные связи отделяют друг от друга разные узлы, а горизонтальные соединяют элементы, хранящиеся в одном узле B-дерева.Из рассмотренных случаев ясноДля различения вертикальных и горизонтальных связей вводится новый атрибут узла {{---}} цвет. Только один из элементов узла в B-дереве красится в черный цвет. Горизонтальные связи ведут из черного узла в красный узел, что при удалении выполняется не более трёх вращенийа вертикальные могут вести из любого узла в черный.
=== Объединение красно-чёрных деревьев ===Объединение двух красно-чёрных деревьев <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex> по элементу <tex>x</tex> выполняется, когда <tex>key[T_{1}] \leqslant x</tex> и <tex>x \leqslant key[T_{2}]</tex>, где <tex>key[T]</tex> {{---}} все ключи дерева <tex>T</tex>.Найдём чёрные высоты деревьевФайл:Rbtree. Предположим также, что <tex>hb[T_{1}] \geqslant hb[T_{2}png|750px|]</tex>. Тогда в дереве <tex>T_{1}</tex> ищем среди чёрных вершин, имеющих чёрную высоту <tex>hb[T_{2}]</tex>, вершину <tex>y</tex> с наибольшим ключом. Пусть <tex>T_{y}</tex> — поддерево с корнем <tex>y</tex>. Объединяем это дерево с <tex>T_{2}</tex> в одно с красным корнем <tex>x</tex>. Теперь родителем вершины <tex>x</tex> становится бывший отец вершины <tex>y</tex>. Осталось восстановить свойства красно-черного дерева, чтобы у красной вершины не было красных детей. Делается аналогично алгоритму добавления вершины.
Если <tex>hb[T_{1}] \leqslant hb[T_{2}]</tex>, то слияние происходит аналогично, только теперь мы ищем в дереве <tex>T_{2}</tex> среди чёрных вершин, имеющих чёрную высоту <tex>hb[T_{1}]</tex>, вершину <tex>y</tex> с наименьшим ключом. === Корректность сопоставления деревьев ===
Так как общее время выполнения каждой Сопоставив таким образом цвета узлам дерева, можно проверить, что полученное дерево удовлетворяет всем свойствам красно-черного дерева.{{Утверждение|statement=У красного узла родитель не может быть красного цвета.|proof=В узле 2-4 дерева содержится не более трех элементов, один из операций порядка высоты которых обязательно красится в черный при переходе к симметричному бинарному B-дереву. Тогда оставшиеся красные элементы, если они есть, подвешиваются к черному. Из этих элементов могут идти ребра в следующий узел 2-4 дерева. В этом узле обязательно есть черная вершина, в нее и направляется ребро. Оставшиеся элементы узла, если они есть, подвешиваются к черной вершине аналогично первому узлу. Таким образом, ребро из красной вершины никогда не попадает в красную, значит у красного элемента родитель не может быть красным.}}{{Утверждение|statement=Число черных узлов на любом пути от листа до вершины одинаково.|proof=В B-дереве глубина всех листьев одинакова, следовательно, одинаково и количество внутренних узлов на каждом пути. Мы сопоставляем чёрный цвет одному элементу внутреннего узла B-дерева . Значит, количество чёрных элементов на любом пути от листа до вершины одинаково.}}{{Утверждение|statement=Корень дерева {{---}} черный.|proof=Если в корне один элемент,то все они выполняются за <tex>O(\logон {{---}} чёрный. Если же в корне несколько элементов, то заметим, что один элемент окрашен в чёрный цвет, остальные {{n---}})</tex>в красный.Горизонтальные связи, соединяющие элементы внутри одного узнала, ведут из чёрного элемента в красный, следовательно, красные элементы будут подвешены к чёрному. Он и выбирается в качестве корня симметричного бинарного B-дерева.}}
Рассмотрим пример объединения двух красно-чёрных деревьев и вершины<tex>(35)</tex>:=== Сопоставление операций в деревьях ===
[[Файл:UntitledВсе операции, совершаемые в B-дереве, сопоставляются операциям в красно-черном дереве. Для этого достаточно доказать, что изменение узла в B-дереве соответствует повороту в красно-7черном дереве.png{{Утверждение|550pxstatement=Изменение узла в B-дереве соответствует повороту в красно-черном дереве.|]]proof=В 2-4 дереве изменение узла необходимо при добавлении к нему элемента. Рассмотрим, как будет меняться структура B-дерева и, соответственно, красно-черного дерева при добавлении элемента:
Узнаём чёрную высоту левого и правого дерева. Чёрная высота левого и правого деревьев равна <tex>2</tex> и <tex>1</tex> соответственно.Так как чёрная высота левого дерева больше* Если в узле содержался один элемент, то ищем происходит добавление второго элемента, соответствующее добавлению красного элемента в левом дереве чёрную вершину, имеющую чёрную высоту правого дерева, с наибольшим ключом.Чёрная высота вершины<tex>(8)</tex> левого дерева равна высоте правого дерева и ключ является наибольшим. Поэтому вершина<tex>(8)</tex> становится левым сыном вершины<tex>(35)</tex>, а правое красно-черное дерево будет правым сыном. Вершина<tex>(35)</tex> станет правым сыном вершины<tex>(0)</tex>:
[[Файл:Untitled* Если в узле содержалось два элемента, то происходит добавление третьего элемента, что соответствует повороту и перекрашиванию вершин в красно-8черном дереве.png|400px|]]
Далее проверяем: не нарушили ли мы свойства * Если в узле содержалось три элемента, то один из элементов узла становится самостоятельным узлом, к которому подвешиваются узел из пары элементов и узел из одного элемента. Эта операция соответствует перекрашиванию яруса красно-чёрного черного дереваиз красного в черный цвет. Так как присутствует нарушение(у красной вершины есть красный сын), то перекрасим вершины и сделаем поворот:
== Преимущества красноПри удалении элемента из узла B-чёрных деревьев ==#Самое главное преимущество дерева совершаются аналогичные процессы поворота и окраски вершин в красно-черных деревьев черном дереве, только в том, что при вставке выполняется не более <tex>O(1)</tex> вращенийобратном направлении. Это важно, например, Так как все операции в алгоритме построения [[Динамическая выпуклая оболочка (достаточно log^2 на добавление/удаление)|динамической выпуклой оболочки]]. Ещё важно, что примерно половина вставок и удалений произойдут задаром, например, при вставке красного узла мы иногда вообще ничего не делаем. Разница высот в два раза в поддереве {{---}} это не так важно по сравнению с этим.#Алгоритм вставки и удаления может быть написан в один проход сверху вниз, вместо алгоритма, который использует рекурсивный проход вниз, родительские указатели или явный стек для обеспечения возможности пройти назад вверх, чтобы провести перебалансировку. Например, в АВЛ-деревьях требуется сначала пройти вниз, произвести операцию, а потом сделать балансирующий проход обратно вверх#Процедуру балансировки практически всегда можно выполнять параллельно с процедурами поиска, так как алгоритм поиска не зависит от атрибута цвета 4 дереве происходят за счет изменения узлов.#Сбалансированность этих деревьев хуже, чем у АВЛ, но работа по поддержанию сбалансированности то они эквивалентны соответствующим операциям в красно-чёрных деревьях обычно эффективнее. Для балансировки красно-чёрного дерева производится минимальная работа по сравнению с АВЛ-деревьямичерном дереве.#Использует всего 1 бит дополнительной памяти для хранения цвета вершины. Но на самом деле в современных вычислительных системах память выделяется кратно байтам, поэтому это не является преимуществом относительно, например, АВЛ-дерева, которое хранит 2 бита. Однако есть реализации красно-чёрного дерева, которые хранят значение цвета в бите. Пример {{---}} Boost Multiindex. В этой реализации уменьшается потребление памяти красно-чёрным деревом, так как бит цвета хранится не в отдельной переменной, а в одном из указателей узла дерева.
Красно{{Теорема|statement=Приведенное выше сопоставление B-чёрные деревья являются наиболее активно используемыми на практике самобалансирующимися деревьями поиска. В частности, ассоциативные контейнеры библиотеки STL(map, set, multiset, multimap) основаны на деревьев и красно-чёрных деревьяхчерных деревьев является изоморфизмом.|proof=Доказательство следует непосредственно из приведенных выше утверждений.}}
Нет описания правки
# Все простые пути из любого узла x до листьев содержат одинаковое количество чёрных узлов
# Чёрный узел может иметь чёрного родителя
[[Файл:konspkonspv2.jpg|350px|thumb|Ослабленное красно-чёрное дерево.]]
Определим ослабленное красно-чёрное дерево как красно-чёрное дерево, корень которого может быть как чёрным, так и красным. Докажем, что при таком условии не будут выполняться и некоторые другие свойства красно-черных деревьев. При добавлении вершины около корня могут возникнуть повороты, и корневая вершина перейдет в какое-то поддерево. Из-за этого может возникнуть ситуация, в которой подряд будут идти две красные вершины. То же самое может произойти из-за перекрашиваний возле корня. Если мы продолжим вставлять элементы подобным образом, свойства дерева перестанут выполняться, и оно перестанет быть сбалансированным. Таким образом, время выполнения некоторых операций ухудшится.
Перед тем, как перейдем к примеру, договоримся, что мы разрешим в ослабленном красно-чёрном дереве при первом добавлении вершин (обеих, правой и левой) к красному корню делать их черными (немного модифицированный алгоритм вставки). Предыдущее условие можно заменить на другое, позволяющее корню иметь красных детей. Рассмотрим пример справа. Получим такое дерево добавляя ключи в следующем порядке: $10$, $6$, $45$, $4$, $8$. На примере можно видеть, что после добавления вершины с ключом <tex>F0</tex> и соответствующих перекрашиваний вершина с ключом <tex>B6</tex> становится красной с красным родителем. Дальше добавим вершину <tex>G5</tex>. Так как мы добавляем ее к черной вершине, все свойства дерева сохраняются без перекрашиваний. Но добавим после этого вершину <tex>H(-3)</tex>. Тогда вершина с ключом <tex>D4</tex> станет красной (<tex>F0</tex> и <tex>G5</tex> {{---}} черными) и у нас образуются три красные вершины подряд. Продолжая добавлять вершины таким образом, мы можем сделать сильно разбалансированное дерево.
===Альтернативные===
# Все пути, идущие от корня к листьям, содержат одинаковое количество черных вершин
То, что только черная вершина может иметь красных детей, совместно с <tex>4</tex>-тым ым свойством говорит о том, что корень дерева должен быть черным, а значит определения можно считать эквивалентными.
== Высота красно-черного дерева ==
{{Определение
|definition=Будем называть '''чёрной высотой''' (англ. ''black-height'') вершины <tex>x</tex> число чёрных вершин на пути из <tex>x</tex> в лист, не учитывая саму вершину <tex>x</tex>.
}}
{{Лемма
|statement= В красно-черном дереве с черной высотой <tex>hb</tex> количество внутренних вершин не менее <tex>2^{hb+-1}-1</tex>.
|proof=
}}
|statement=Красно-чёрное дерево с <tex>N</tex> ключами имеет высоту <tex>h = O(\log N)</tex>.
|proof=
Рассмотрим красно-чёрное дерево с высотой <tex>h</tex>. Так как у красной вершины чёрные дети (по свойству $3$) количество красных вершин не больше $\dfrac{h}{2}$.
Тогда чёрных вершин не меньше, чем <tex>\dfrac{h}{2} - 1</tex>.
<tex>N \geqslant 2^{h/2}-1</tex>
Прологарифмировав неравенство, имеем:
<tex>\log(N+1) \geqslant \dfrac{h/}{2}</tex>
<tex>2\log(N+1) \geqslant h</tex>
Узел, с которым мы работаем, на картинках имеет имя <tex>x</tex>.
=== Вставка элемента ===
Каждый элемент вставляется вместо листа, поэтому для выбора места вставки идём от корня до тех пор, пока указатель на следующего сына не станет <tex>nil</tex> (то есть этот сын {{---}} лист). Вставляем вместо него новый элемент с <tex>nil</tex>-нулевыми потомками и красным цветом. Теперь проверяем балансировку. Если отец нового элемента черный, то никакое из свойств дерева не нарушено. Если же он красный, то нарушается свойство <tex>3</tex>, для исправления достаточно рассмотреть два случая:# "Дядя" этого узла тоже красный. Тогда, чтобы сохранить свойства <tex>3</tex> и <tex>4</tex>, просто перекрашиваем "отца" и "дядю" в чёрный цвет, а "деда" {{---}} в красный. В таком случае черная высота в этом поддереве одинакова для всех листьев и у всех красных вершин "отцы" черные. Проверяем, не нарушена ли балансировка. Если в результате этих перекрашиваний мы дойдём до корня, то в нём в любом случае ставим чёрный цвет, чтобы дерево удовлетворяло свойству <tex>2</tex>. [[Файл:Untitled-1.png|200px]]# "Дядя" чёрный. Если выполнить только перекрашивание, то может нарушиться постоянство чёрной высоты дерева по всем ветвям. Поэтому выполняем поворот. Если добавляемый узел был правым потомком, то необходимо сначала выполнить левое вращение, которое сделает его левым потомком. Таким образом, свойство <tex>3</tex> и постоянство черной высоты сохраняются.
=== Удаление вершины ===
При удалении вершины могут возникнуть три случая в зависимости от количества её детей:
Проверим балансировку дерева. Так как при удалении красной вершины свойства дерева не нарушаются, то восстановление балансировки потребуется только при удалении чёрной. Рассмотрим ребёнка удалённой вершины.
== Преимущества красно-чёрных деревьев ==#Самое главное преимущество красно-черных деревьев в том, что при вставке выполняется не более <tex>O(1)</tex> вращений. Это важно, например, в алгоритме построения [[Файл:UntitledДинамическая выпуклая оболочка (достаточно log^2 на добавление/удаление)|динамической выпуклой оболочки]]. Ещё важно, что примерно половина вставок и удалений произойдут задаром. #Процедуру балансировки практически всегда можно выполнять параллельно с процедурами поиска, так как алгоритм поиска не зависит от атрибута цвета узлов.#Сбалансированность этих деревьев хуже, чем у [[АВЛ-5.png|400pxдерево |АВЛ]], но работа по поддержанию сбалансированности в красно-чёрных деревьях обычно эффективнее. Для балансировки красно-чёрного дерева производится минимальная работа по сравнению с АВЛ-деревьями.#Использует всего $1$ бит дополнительной памяти для хранения цвета вершины. Но на самом деле в современных вычислительных системах память выделяется кратно байтам, поэтому это не является преимуществом относительно, например, АВЛ-дерева, которое хранит $2$ бита. Однако есть реализации красно-чёрного дерева, которые хранят значение цвета в бите. Пример {{---}} Boost Multiindex. В этой реализации уменьшается потребление памяти красно-чёрным деревом, так как бит цвета хранится не в отдельной переменной, а в одном из указателей узла дерева.
== Связь с [[Файл:Untitled2-6.png|400px3_дерево |2-3 и 2-4 деревьями]]==
[[Файл:Untitled-9Rbtree2.png|400px1000px|]]
==См. также==
* [[АВЛ-дерево|АВЛ-дерево]]
* [[2-3 дерево|2-3 дерево]]
== Примечания ==
<references/>
==Источники информации==
* [http://nord.org.ua/static/course/algo_2009/lecture10.pdf Курс kiev-clrs {{---}} Лекция 10. Красно-чёрные деревья]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/red-black-2002 Визуализатор]
* [http://rflinux.blogspot.ru/2011/10/red-black-trees.html Абстрактные типы данных {{---}} Красно-чёрные деревья (Red black trees)]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Деревья поиска]]
