Кратчайший путь в ациклическом графе

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Пусть дан ациклический ориентированный взвешенный граф. Требуется найти вес кратчайшего пути из u в v

Определение:
Кратчайший путь из u в v – это такой путь из u в v, что его суммарный вес входящих в него ребер минимален

Решение

Пусть d — функция, где d(i) — вес кратчайшего пути из u в i. Ясно, что d(u) равен 0. Пусть w(i, j) - вес ребра из i в j. Будем обходить граф в порядке топологической сортировки. Получаем следующие соотношения:

[math] d(i) = \min\limits_{\mathop{j:j \rightsquigarrow i}} (d(j) + w(j, i)) [/math]

Так как мы обходим граф в порядке топологической сортировки, то на i-ом шаге всем d(j) (j такие, что: существует ребро из j в i) уже присвоены оптимальные ответы, и, следовательно, d(i) также будет присвоен оптимальный ответ.

Реализация

Реализуем данный алгоритм:

 //w - матрицы как в описании, d - массив как в описании, p - массив индексов вершин графа в порядке топологической сортировки, i, j - счетчики 
inputData() //считывание данных
for i = 1 to n d[i] = infinity
p = topSort(w) //топологическая сортировка графа
d[u] = 0
for i = 1 to n for j: есть ребро из p[i] в j d[j] = min(d[j], d[p[i]] + w[p[i]][j])
writeData(); // запись данных

Пример

граф из примера

Пусть дан граф со следующими весами w ребер:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 - - - 5 - - - -
2 1 - 1 - 4 3 - -
3 - - - - - 1 - -
4 - - - - - - - -
5 - - - 3 - - - 1
6 - - - 5 - - 2 -
7 - - - 2 - - - -
8 - - - 1 - - - -

Требуется найти путь из 2 в 4.
Массив p будет выглядеть следующим образом:

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 6 7 1 5 8 4

Массив d будет выглядеть следующим образом:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 1 5 3 2 4 4

Ответ равен 5.

Источники