1
правка
Изменения
м
Пусть дано Докажем, что остовное дерево <tex> A </tex>, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах. Докажем, что такое дерево {{---}} минимально.
→Критерий Тарьяна: Орфография
<tex> \Rightarrow </tex>
Предположим противное: в дереве пусть остовное дерево <tex> A </tex> не все минимальные ребра состоит из всех минимальных ребер на циклах, тогда оно не минимально. Тогда, найдется цикл в графе <tex> G </tex>, в котором есть ребро Если <tex> (u, v) \notin A</tex>не минимально, которое легче остальных ребер этого цикла, включая ребро <tex> (a, b) \in A</tex>. Следовательно, то его можно получить остов с меньшим весомулучшить, удалив значит есть ребро <tex> (a, b) </tex>, которое имеет наименьший вес на цикле и, добавив <tex> (u, v) </tex>не принадлежит дереву. ПоэтомуСледовательно, дерево содержащее ребра построено не наименьшего веса на минимальных ребрах в циклах не минимально {{---}} противоречие.
<tex> \Leftarrow </tex>
Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex> (u, v) </tex>, причем <tex> u \in S </tex>, а <tex> v \in T </tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро <tex> (a, b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез <tex> (S, T) </tex>. Очевидно, что <tex> w(u, v) \leqslant w(a, b) </tex>, так как первое {{---}} безопасное ребро.
Следовательно, любое ребро не принадлежащее <tex> \notin A</tex> не легче ребер принадлежащих <tex> \in A </tex> на этом цикле.
