Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева

Материал из Викиконспекты
Версия от 19:31, 1 декабря 2010; Filchenko (обсуждение | вклад) (исправлен ляп)
Перейти к: навигация, поиск
Теорема (Теорема Тарьяна (критерий минимальности остовного дерева)):
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро не из дерева является максимальным на цмкле, который образуется при его добавлении в дерево
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Если существует ребро, не максимальное на образовавшемся цикле мы можем уменьшить вес дерева, добавив это ребро и удалив максимальное.

Обозначим дерево [math]T[/math], покажем что его можно построить алгоритмом Крускала.

Индукция: База: пустое дерево. Строим дерево([math]T'[/math]) по лемме о безопасном ребре.

Переход: Рассмотрим минимальное невзятое ребро [math]uv \in T[/math] Рассмотрим разрез, окружающий одну из двух компонент

Пусть [math]uv[/math] не минимально в разрезе, тогда существует [math]ab \notin T[/math] такое, что [math]w(ab) \lt w(uv)[/math]. При добавлении [math]ab[/math] в дерево [math]T[/math] Некое ребро [math]xy[/math], такое что [math]w(xy) \ge w(uv) \lt w(ab)[/math] будет лежать на цикле. Противоречие условию теоремы. Если [math]uv[/math] минимально - добавим его в [math]T'[/math].

По окончании (просмотрели все ребра [math]T[/math]) [math]T[/math] совпадет с [math]T'[/math]
[math]\triangleleft[/math]