Ксе к — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Поправил формулу Tm=To+QC)
 
(не показаны 32 промежуточные версии 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
ПРедставим банку, заполнен хим акт жидкостьью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, она способным взаимод друг с другом , и Реаккц хим удовлет 2 свовам
+
''' О ЗАДАЧЕ '''
1) скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой
 
2) происходит "сильное" выделение тепла этой реакции
 
  
исходная смесь при темп T0 (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).
+
Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки <tex>T_w</tex>). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:
<tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex>
+
# скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой
 +
# происходит "сильное" выделение тепла этой реакции
  
Tm температура  адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси
+
Исходная смесь имеет температуру <tex>T_0</tex> (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).
Q - тепловой эффект хим реакции
+
<br> <tex>Tm = T_0 + \frac{Q}{C}</tex>
С - теплоемкость
+
<br>, где
 +
<br><tex>T_m</tex> температура  адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси
 +
<br><tex>Q</tex> - тепловой эффект хим реакции
 +
<br><tex>C</tex> - теплоемкость
  
Как ведет концентрация реагинтов?
+
* Как ведет концентрация реагентов?
 
начальный реагент A -> B (в продукт B)
 
начальный реагент A -> B (в продукт B)
(в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)
+
(в чем мер <b>концентрация</b> = отношение плотности вещества к полной плотности смеси <tex>x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} </tex> , <tex>0 \leq x \leq 1</tex>)
  
перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0
+
Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.
  
как ведет себя скорость?
+
* Как ведет себя скорость?
дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик.  
+
Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик.  
  
Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.
+
Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки <tex>T_w</tex>; если <tex>T_w = T_m</tex>, то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение <tex>T^*</tex> для инициирования волны. Тогда
  
<tex>T_0 \lesssim T* \le Tm</tex> - нет "поджиг" (наверное, тут вместо T* Tw)
+
* <tex> T_w \lesssim T^* \le T_m </tex> - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)
  
<tex>T* \lesssim Tw \le Tm</tex> - "поджиг" с задержкой
+
* <tex> T^* \lesssim T_w \le T_m </tex> - "поджиг" с задержкой
<tex> Tm \le Tw</tex> - быстрый "поджиг"
 
  
Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп.
+
* <tex> T_m \le T_w </tex> - быстрый "поджиг" (мнгновенно)
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким.
+
 
И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью.
+
Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп.
 +
При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость.  
 +
Что происходит после потери?
 +
Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью.
 
Не плоская волна?
 
Не плоская волна?
 
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)
 
Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ)
Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.
+
Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону.
Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса
+
Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса
 +
 
 +
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)
 +
 
 +
 
 +
''' КАК МОДЕЛИРОВАТЬ '''
  
Совершенно детерминир система - такое сложное поведение
+
В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:
 +
# <tex>x(t, z)</tex> - концентрация
 +
# <tex>T(t, z)</tex> - температура
  
КАК МОДЕЛИРОВАТЬ
+
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial z^2} = W(x, T) \\
в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик
+
\rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex>
x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)
+
<br>, где <tex>D</tex> - коэффициет диффузии
  
<tex>\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\
+
Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:
C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.</tex>
+
<br><tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex>
D - коэффициет диффузии
+
<br>, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы
  
первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции
+
Что такое переход из вещества  А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.
<tex>W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})</tex>
 
K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы
 
  
Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера
+
Надо решить ту систему уравнений.
  
Надо решуть ту систему уравнений.
+
* Граничные условия:
Граничные условия.
 
  
 
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex>
 
<tex>x|_{z = 0} = 0</tex>
  
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - темпер стенки
+
<tex>T|_{z = 0} = T_w</tex> - температура стенки
 +
 
 +
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l}  = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l}  = 0</tex>. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.
  
<tex>\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l}  = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l}  = 0</tex> На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.
+
* Начальные условия:
Начальные условия
 
  
 
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\  
 
<tex>x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\  
Строка 67: Строка 76:
 
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex>
 
T_w, z = 0\end{matrix} \right.</tex>
  
с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки
+
* Замечание
 +
С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.
  
Лценки:
 
  
Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1
+
''' Оценки: '''
  
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}</tex>
+
Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1
  
К - конст реакции, <tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается, <tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности
+
<tex>U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}</tex>
Q - топловой эффект реакции
+
<br>, где
 +
<br>К - конст реакции,  
 +
<br><tex>\triangle T</tex> - насколько среда прогревается
 +
<br><tex>\lambda</tex> - коэффициент теплопроводности
 +
<br>Q - тепловой эффект реакции
  
<tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex>
+
<br><tex>\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}</tex>
T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась
+
<br> T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась
  
 
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)
 
По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта)
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зна реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.
+
есть сравнительно широкая зона подогрева <tex>\delta_t</tex> и сравнительно узкая зона реакции <tex>\delta_r</tex>. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.
  
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c  U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности
+
<tex>\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}</tex>, <tex>\varkappa</tex>- коэфф темепературопроводности
  
 
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)
 
диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым)
<tex>\delta_D \sim D/U </tex> D - коэфф диффузии
+
<tex>\delta_D \sim \frac {D} {U} </tex>, где D - коэфф диффузии
  
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex> ??
+
<tex>\delta_r \sim \delta_T \beta</tex>
 +
<br>, где <tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры
  
<tex>\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1</tex> - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры
+
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии
  
<tex>\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1</tex> - условие "сильной" экзотермичности реакии
+
* Как подбирать шаги по времени?
 +
Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы
 +
# на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов  ,
 +
# <tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,
 +
# <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.
  
Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы 1)на <tex>\delta_r</tex> укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов  , 2)<tex> \triangle z\lesssim \delta_r</tex>,
+
''' Задача '''
3) <tex>\delta_T \ll l </tex> l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.
 
  
Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex>)
+
Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что <tex>K e^{-\frac{E}{l t m}} = const </tex> - может привести к релаксационным колебаниям)
  
(*)Для желающих 2мерную задачу.
+
(*)Для желающих 2мерную задачу.  
  
 
Параметры:
 
Параметры:
  
<tex>K = 1,6 * 10^6  </tex>  1 /c константа скорости реакции
+
<tex>K = 1.6 \cdot 10^6  </tex>  1 /c константа скорости реакции
  
<tex>E = 8 * 10^4 </tex>  Дж/Моль энергия активации
+
<tex>E = 8 \cdot 10^4 </tex>  Дж/Моль энергия активации
  
<tex>R = 8,314 </tex> Дж/(Моль * К)
+
<tex>R = 8.314 </tex> Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная
  
 
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1
 
<tex>a = 0..2</tex> - порядок реакции. лучше начинать с 1
  
<tex>Q =7 * 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции
+
<tex>Q =7 \cdot 10^5 </tex> Дж/кг тепловой эффект реакции
  
 
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3
 
<tex>\rho = 830 </tex> кг / м^3
Строка 120: Строка 137:
 
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость
 
<tex>C = 1980</tex> Дж/(кг * K) теплоемкость
  
<tex>\lambda = 1,13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность  
+
<tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К) теплопроводность  
 +
<ref>
 +
У меня немного по-другому <tex>\lambda = 0.13 </tex> Дж/(м * с * К)
 +
</ref>
  
<tex>D \sim 8 * 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы.  
+
<tex>D \sim 8 \cdot 10^{-12}</tex> м^2/c коэффиц диффузии.
 +
Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса <tex>L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1</tex>. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы.  
  
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)
+
"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)
  
 
"Процессор" - солвер
 
"Процессор" - солвер
  
 
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)
 
"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)
 +
 +
 +
== Решения ==
 +
=== Неявный метод ===
 +
 +
Общий вид:
 +
 +
<tex> \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} </tex>
 +
 +
 +
В нашем случае (вычисляем <tex>(n+1)</tex>-ый слой):
 +
 +
<tex> \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t}  -  D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}}  =  W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex>
 +
<ref> В слагаемом с <tex> D </tex> у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате. </ref>
 +
 +
<tex> \rho C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}}  =  -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) </tex>
 +
 +
Решается методом прогонки ( + внутренние итерации)
 +
 +
== Возможные альтернативные варианты формул: ==
 +
 +
<references/>

Текущая версия на 13:48, 22 февраля 2016

О ЗАДАЧЕ

Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Одну из стенок банки начинают прогревать (поддерживая температуру стенки [math]T_w[/math]). При нагревании происходит хим реакция. Эта хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:

  1. скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой
  2. происходит "сильное" выделение тепла этой реакции

Исходная смесь имеет температуру [math]T_0[/math] (при которой скорость реакции очень маленькая). Начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлежащим слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакции увеличивается с температурой, в них начинает происходить реакция. Как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогреваются и тд. При некоторых условиях формируется тепловой фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции).
[math]Tm = T_0 + \frac{Q}{C}[/math]
, где
[math]T_m[/math] температура адиабатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси
[math]Q[/math] - тепловой эффект хим реакции
[math]C[/math] - теплоемкость

  • Как ведет концентрация реагентов?

начальный реагент A -> B (в продукт B) (в чем мер концентрация = отношение плотности вещества к полной плотности смеси [math]x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} [/math] , [math]0 \leq x \leq 1[/math])

Перед фронтом когда один реагент концентрация = 1. После фронта асимтотически выходит на 0.

  • Как ведет себя скорость?

Дает очень узкий пик в какой-то малой зоне. Перед зоной скорость реакции мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. Расчеты показывают, что это очень узкий пик.

Например, как инициировать фронт? Допустим, устанавливаем температуру стенки [math]T_w[/math]; если [math]T_w = T_m[/math], то волна без проблем идет, если меньше, то существует критическое значение [math]T^*[/math] для инициирования волны. Тогда

  • [math] T_w \lesssim T^* \le T_m [/math] - нет "поджига" (т.е. волна не начинается, инертный прогрев)
  • [math] T^* \lesssim T_w \le T_m [/math] - "поджиг" с задержкой
  • [math] T_m \le T_w [/math] - быстрый "поджиг" (мнгновенно)

Когда волна отходит, она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки и тп. При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит после потери? Если теряет в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формирются другие устойчивые режимы, например колебательные, то есть волна движется, то ускоряясь, то замедляясь; дальше может произойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает такие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотическое поведение, волна, сохраняя плоскую форму, распространяется колебательно, но вообще не периодически, поведение похоже на хаотическое. Пример динамического хаоса: поведение похоже на хаос, но описывается детерминированной закономерностью. Не плоская волна? Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ) Если 3д, то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону. Могут распасться на несколько очагов - спиновая волна. Всякие чудеса

Совершенно детерминир система - такое сложное поведение =)


КАК МОДЕЛИРОВАТЬ

В одномерном случае ситема описывается 2мя функциями:

  1. [math]x(t, z)[/math] - концентрация
  2. [math]T(t, z)[/math] - температура

[math]\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial z^2} = W(x, T) \\ \rho C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.[/math]
, где [math]D[/math] - коэффициет диффузии

Первое - уравнение диффузии. Справа - скорость хим реакции:
[math]W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})[/math]
, где K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - энергия активациии - константы

Что такое переход из вещества А в В (РИСУНОК енергия связи, барьер.) То есть чтобы произошла реакция необходимо преодолеть молекулярный барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера.

Надо решить ту систему уравнений.

  • Граничные условия:

[math]x|_{z = 0} = 0[/math]

[math]T|_{z = 0} = T_w[/math] - температура стенки

[math]\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0[/math]. На самом деле, все это не важно условия на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.

  • Начальные условия:

[math]x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ 0, z = 0\end{matrix} \right.[/math]


[math]T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ T_w, z = 0\end{matrix} \right.[/math]

  • Замечание

С вероятность 99 процентов не получится; надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быть предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки.


Оценки:

Характерная величина скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1

[math]U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T_{m^2}}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T_m}}] ^ {1/2}[/math]
, где
К - конст реакции,
[math]\triangle T[/math] - насколько среда прогревается
[math]\lambda[/math] - коэффициент теплопроводности
Q - тепловой эффект реакции


[math]\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}[/math]
T_m - температура адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась

По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта) есть сравнительно широкая зона подогрева [math]\delta_t[/math] и сравнительно узкая зона реакции [math]\delta_r[/math]. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется (?) в более узкой зоне.

[math]\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{\rho С U}[/math], [math]\varkappa[/math]- коэфф темепературопроводности

диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым) [math]\delta_D \sim \frac {D} {U} [/math], где D - коэфф диффузии

[math]\delta_r \sim \delta_T \beta[/math]
, где [math]\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1[/math] - условние "сильной " зависимости скор реакц от температуры

[math]\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 C}{E Q} \ll 1[/math] - условие "сильной" экзотермичности реакии

  • Как подбирать шаги по времени?

Должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы

  1. на [math]\delta_r[/math] укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов ,
  2. [math] \triangle z\lesssim \delta_r[/math],
  3. [math]\delta_T \ll l [/math] l - разсер области, то есть чтобы фронт поместился.

Задача

Предже всего, получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что [math]K e^{-\frac{E}{l t m}} = const [/math] - может привести к релаксационным колебаниям)

(*)Для желающих 2мерную задачу.

Параметры:

[math]K = 1.6 \cdot 10^6 [/math] 1 /c константа скорости реакции

[math]E = 8 \cdot 10^4 [/math] Дж/Моль энергия активации

[math]R = 8.314 [/math] Дж/(Моль * К) унив газовая постоянная

[math]a = 0..2[/math] - порядок реакции. лучше начинать с 1

[math]Q =7 \cdot 10^5 [/math] Дж/кг тепловой эффект реакции

[math]\rho = 830 [/math] кг / м^3

[math]T_0 = 293[/math] K

[math]C = 1980[/math] Дж/(кг * K) теплоемкость

[math]\lambda = 0.13 [/math] Дж/(м * с * К) теплопроводность [1]

[math]D \sim 8 \cdot 10^{-12}[/math] м^2/c коэффиц диффузии. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. Для начала не реальную брать D, а взять не физ значение а такое, что число Льюиса [math]L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1[/math]. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы.

"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги кол-во шагов...)

"Процессор" - солвер

"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)


Решения[править]

Неявный метод[править]

Общий вид:

[math] \frac{T^{n+1}-T^{n}}{\Delta t}=L_{n}T^{n+1} [/math]


В нашем случае (вычисляем [math](n+1)[/math]-ый слой):

[math] \frac {X_{i}^{n+1} - X_{i}^{n}} {\Delta t} - D \frac {X_{i-1}^{n+1} - 2X_{i}^{n+1} + X_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) [/math] [2]

[math] \rho C \frac {T^{n+1} - T^{n}} {\Delta t} - \lambda \frac {T_{i-1}^{n+1} - 2T_{i}^{n+1} + T_{i+1}^{n+1}} {\Delta z^{2}} = -\rho Q W(X_{i}^{n},\ T_{i}^{n}) [/math]

Решается методом прогонки ( + внутренние итерации)

Возможные альтернативные варианты формул:[править]

  1. У меня немного по-другому [math]\lambda = 0.13 [/math] Дж/(м * с * К)
  2. В слагаемом с [math] D [/math] у нас была производная по времени, но тогда мало понятно как решать, а ещё решение которое нашёл Вова содержит в этом месте производную по координате.