Куча Бродала-Окасаки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(extractMinimum)
Строка 47: Строка 47:
 
   return x;
 
   return x;
 
</pre>
 
</pre>
=== extractMinimum ===
+
=== extractMin ===
 
Минимальный элемент хранится в верхнем Bootstrapping, по этому его поиск не нужен. Требуется извлечение минимума из приоритетной очереди Bootstrapping'ов.  
 
Минимальный элемент хранится в верхнем Bootstrapping, по этому его поиск не нужен. Требуется извлечение минимума из приоритетной очереди Bootstrapping'ов.  
 
<pre>
 
<pre>
extractMinimum((x,q))
+
extractMin((x,q))
 
   ((y,r), t) = extractMin(q)
 
   ((y,r), t) = extractMin(q)
 
   return (y, merge(r, t))
 
   return (y, merge(r, t))
 
</pre>
 
</pre>
Здесь <tex>extractMinimum</tex> {{---}} это функция, извлекающая - минимальный элемент типа Bootstrapping - из приоритетной очереди, она возвращает <tex>(y,r)</tex> - минимальный элемент типа Bootstrapping и остаток от приоритетной очереди после извлечение минимума - <tex>t</tex>. <tex>merge</tex> {{---}} функция, выполняющая слияние двух приоритетных очередей.
+
Здесь <tex>extractMin(q)</tex> {{---}} это функция, извлекающая - минимальный элемент типа Bootstrapping - из приоритетной очереди, она возвращает <tex>(y,r)</tex> - минимальный элемент типа Bootstrapping и остаток от приоритетной очереди после извлечение минимума - <tex>t</tex>. <tex>merge</tex> {{---}} функция, выполняющая слияние двух приоритетных очередей.
  
 
Возвращаем Bootstrapping, где <tex>y</tex> {{---}} новый минимальный элемент, и <tex>merge(r, t)</tex> приоритетная очередь без элемента <tex>y</tex>.
 
Возвращаем Bootstrapping, где <tex>y</tex> {{---}} новый минимальный элемент, и <tex>merge(r, t)</tex> приоритетная очередь без элемента <tex>y</tex>.
  
Так как <tex>extractMin</tex> и <tex>merge</tex> выполняются за <tex>O(log N)</tex>, тогда <tex>extractMinimum</tex> выполняется за <tex>O(log N)</tex>.
+
Так как <tex>extractMin</tex> и <tex>merge</tex> выполняются за <tex>O(log N)</tex>, тогда <tex>extractMin</tex> выполняется за <tex>O(log N)</tex>.
 +
 
 
== Смотри также ==
 
== Смотри также ==
 
* [[Биномиальная куча]]
 
* [[Биномиальная куча]]

Версия 05:10, 11 июня 2013

Куча Бродала-Окасаки (англ. Brodal's and Okasaki's Priority Queue) - основана на использовании персистентных приоритетных очередей. Поддерживает поиск минимума, вставку, слияние за [math]O(1)[/math] в худшем случае и удаление минимума за [math]O(log N)[/math] в худшем случае. Эти оценки являются асимптотически оптимальными среди всех основанных на сравнении приоритетных очередей.

Структура

Структура

Используем технику, которую Тарьян называет data-structural bootstrapping.

Определение:
Data-structural bootstrapping - это техника, позволяющая снизить время [math]merge[/math] до [math]O(1)[/math] путем разрешения хранить в очереди другую очередь.




Она будет хранить пару из минимального элемента [math]T_{min}[/math] и приоритетную очередь Bootstrapping'ов упорядоченную по минимальному элементу. Это можно записать так:

[math] BPQ\lt T_{min}, PQ\gt = (T_{min}, PQ\lt BPQ\lt T_{min}, PQ\gt \gt )[/math]

Куча из одного элемента будет выглядеть так

[math]create(x) = BPQ\lt x, null\gt [/math]

Данная структура не будет бесконечной, так как каждый раз в приоритетной очереди будет храниться на один элемент меньше, таким образом образуя иерархическую структуру. Каждое значение храниться в одном из значений [math]T_{min}[/math].

Операции

Merge

Слияние выполняется выбором минимума из двух значений [math]T_{min}[/math] и добавлением в приоритетную очередь второго Bootstrapping.

merge((x,q), (y,r))
  if x<y
    return (x, insert(q, (y,r)))
  else
    return (y, insert(r, (x,q)))

Здесь [math]insert[/math] это добавление в приоритетную очередь работает за [math]O(1)[/math], тогда [math]merge[/math] работает за [math]O(1)[/math].

Insert

Это создание нового Bootstrapping и [math]merge[/math] его с основным деревом.

insert((x,q), y)
  return merge((x,q), create(y))

Создание и [math]merge[/math] выполняются за [math]O(1)[/math], тогда [math]insert[/math] работает за [math]O(1)[/math].

getMinimum

Выполняется просто, так как Bootstrapping хранит минимум.

getMinimum((x,q))
  return x;

extractMin

Минимальный элемент хранится в верхнем Bootstrapping, по этому его поиск не нужен. Требуется извлечение минимума из приоритетной очереди Bootstrapping'ов.

extractMin((x,q))
  ((y,r), t) = extractMin(q)
  return (y, merge(r, t))

Здесь [math]extractMin(q)[/math] — это функция, извлекающая - минимальный элемент типа Bootstrapping - из приоритетной очереди, она возвращает [math](y,r)[/math] - минимальный элемент типа Bootstrapping и остаток от приоритетной очереди после извлечение минимума - [math]t[/math]. [math]merge[/math] — функция, выполняющая слияние двух приоритетных очередей.

Возвращаем Bootstrapping, где [math]y[/math] — новый минимальный элемент, и [math]merge(r, t)[/math] приоритетная очередь без элемента [math]y[/math].

Так как [math]extractMin[/math] и [math]merge[/math] выполняются за [math]O(log N)[/math], тогда [math]extractMin[/math] выполняется за [math]O(log N)[/math].

Смотри также

Ссылки

Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям

Optimal Purely Functional Priority Queues