Куча Бродала-Окасаки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(getMin)
Строка 15: Строка 15:
 
Создадим структуру Bootstrapping Priority Queues, которая будет хранить пару из минимального элемента <tex>T_{min}</tex> и приоритетную очередь. Элементами приоритетной очереди будут Bootstrapping Priority Queues упорядоченные по <tex>T_{min}</tex>. Это можно записать так:
 
Создадим структуру Bootstrapping Priority Queues, которая будет хранить пару из минимального элемента <tex>T_{min}</tex> и приоритетную очередь. Элементами приоритетной очереди будут Bootstrapping Priority Queues упорядоченные по <tex>T_{min}</tex>. Это можно записать так:
  
<tex> BPQ<T_{min}, PQ> = (T_{min}, PQ<BPQ<T_{min}, PQ>>)</tex>
+
<tex> BPQ \left \langle T_{min}, PQ \right \rangle = (T_{min}, PQ \left \langle BPQ \left \langle T_{min}, PQ\right \rangle \right \rangle)</tex>
  
 
Куча из одного элемента будет выглядеть так
 
Куча из одного элемента будет выглядеть так
  
<tex>create(x) = BPQ<x, null></tex>
+
<tex>create(x) = BPQ \left \langle x, null\right \rangle</tex>
  
 
Данная структура не будет бесконечной, так как каждый раз в приоритетной очереди будет храниться на один элемент меньше, таким образом образуя иерархическую структуру. Каждое значение храниться в одном из значений <tex>T_{min}</tex>.
 
Данная структура не будет бесконечной, так как каждый раз в приоритетной очереди будет храниться на один элемент меньше, таким образом образуя иерархическую структуру. Каждое значение храниться в одном из значений <tex>T_{min}</tex>.

Версия 13:59, 12 июня 2013

Куча Бродала-Окасаки (англ. Brodal's and Okasaki's Priority Queue) - основана на использовании биномиальной кучи без каскадных ссылок, что позволяет делать [math]insert[/math] за [math]O(1)[/math], добавлении минимального элемента, позволяет получать минимальный элемент за [math]O(1)[/math], и идеи Data-structural bootstrapping, позволяющей выполнить [math]merge[/math] за [math]O(1)[/math]. Удаление минимума работает за [math]O(log N)[/math] в худшем случае. Эти оценки являются асимптотически оптимальными среди всех основанных на сравнении приоритетных очередей.

Структура

Используем идею, которую Тарьян и Буксбаум называют Data-structural bootstrapping.

Определение:
Data-structural bootstrapping - это идея, позволяющая снизить время [math]merge[/math] до [math]O(1)[/math] путем разрешения хранить в очереди другую очередь.




Создадим структуру Bootstrapping Priority Queues, которая будет хранить пару из минимального элемента [math]T_{min}[/math] и приоритетную очередь. Элементами приоритетной очереди будут Bootstrapping Priority Queues упорядоченные по [math]T_{min}[/math]. Это можно записать так:

[math] BPQ \left \langle T_{min}, PQ \right \rangle = (T_{min}, PQ \left \langle BPQ \left \langle T_{min}, PQ\right \rangle \right \rangle)[/math]

Куча из одного элемента будет выглядеть так

[math]create(x) = BPQ \left \langle x, null\right \rangle[/math]

Данная структура не будет бесконечной, так как каждый раз в приоритетной очереди будет храниться на один элемент меньше, таким образом образуя иерархическую структуру. Каждое значение храниться в одном из значений [math]T_{min}[/math].

Операции

Merge

Слияние выполняется выбором минимума из двух значений [math]T_{min}[/math] и добавлением в приоритетную очередь второго BPQ.

merge((x,q), (y,r))
  if x<y
    return (x, insert(q, (y,r)))
  else
    return (y, insert(r, (x,q)))

Здесь [math]insert[/math] это добавление в приоритетную очередь работает за [math]O(1)[/math], тогда [math]merge[/math] работает за [math]O(1)[/math].

Insert

Это создание нового BPQ и [math]merge[/math] его с основным деревом.

insert((x,q), y)
  return merge((x,q), create(y))

Создание и [math]merge[/math] выполняются за [math]O(1)[/math], тогда [math]insert[/math] работает за [math]O(1)[/math].

getMin

Выполняется просто, так как BPQ хранит минимум.

getMin((x,q))
  return x;

Очевидно, работает за [math]O(1)[/math]

extractMin

Минимальный элемент хранится в верхнем BPQ, по этому его поиск не нужен. Требуется извлечение минимума из приоритетной очереди BPQ'ов.

extractMin((x,q))
  ((y,r), t) = extractMin(q)
  return (y, merge(r, t))

Здесь [math]extractMin(q)[/math] — это функция, извлекающая минимальный элемент типа BPQ из приоритетной очереди, она возвращает [math](y,r)[/math] - минимальный элемент типа BPQ и остаток от приоритетной очереди после извлечение минимума - [math]t[/math]. [math]merge[/math] — функция, выполняющая слияние двух приоритетных очередей.

Возвращаем BPQ, где [math]y[/math] — новый минимальный элемент, и [math]merge(r, t)[/math] приоритетная очередь без элемента [math]y[/math].

Так как [math]extractMin[/math] и [math]merge[/math] выполняются за [math]O(log N)[/math], тогда [math]extractMin[/math] выполняется за [math]O(log N)[/math].

Смотри также

Ссылки

Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям

Optimal Purely Functional Priority Queues