Лапы и минимальные по включению барьеры в графе — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(definition fixed?)
(не показано 15 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|id = paw
+
|id = claw
 
|neat = 1  
 
|neat = 1  
|definition = '''Лапой''' (англ. ''paw'') называется индуцированный подграф графа <tex>G</tex>, [[ Основные определения теории графов#isomorphic_graphs | изоморфный ]] [[ Основные определения теории графов#defBiparateGraph | двудольному ]] графу <tex>K_{1,\;3}</tex>.
+
|definition = '''Лапой''' (англ. ''claw'') называется индуцированный подграф графа <tex>G</tex>, [[ Основные определения теории графов#isomorphic_graphs | изоморфный]] [[ Основные определения теории графов#defBiparateGraph | двудольному ]] графу <tex>K_{1, 3}</tex>.
 
}} [[ Файл:Lapa.png|180px|thumb|right|Лапа ]]
 
}} [[ Файл:Lapa.png|180px|thumb|right|Лапа ]]
 
                                                                                                                                            
 
                                                                                                                                            
 
                                                                                                  
 
                                                                                                  
  
                                                                                                                                   
+
                                                       
 
                                                                                                                                            
 
                                                                                                                                            
 
                                                                                                                                        
 
                                                                                                                                        
 
{{Определение
 
{{Определение
|id = paw_center
+
|id = claw_center
 
|neat = 1  
 
|neat = 1  
|definition ='''Центром лапы''' (англ. ''paw center'') называется вершина [[ Основные определения теории графов#def_graph_degree_1 | степени ]] три в лапе.
+
|definition ='''Центром лапы''' (англ. ''claw center'') называется вершина [[ Основные определения теории графов#def_graph_degree_1 | степени ]] три в лапе.
 
}}
 
}}
 
                                                                                                                                      
 
                                                                                                                                      
Строка 21: Строка 21:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = minimum_barrier
 
|neat = 1  
 
|neat = 1  
|id = minimum_barrier
+
|definition = '''Минимальным по включению [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barrier | барьером ]] '''(англ.''minimal barrier'') называется барьер, который перестанет быть барьером при исключении из него любой вершины.
|definition = '''Минимальным по включению [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barrier | барьером ]] '''(англ.''minimum barrier'') называется барьер минимальной мощности.
 
 
}}
 
}}
  
 
+
                                                                                                                                         
 
+
                                                                                                         
 
+
                             
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|id = theorem_about_paw
+
|id = theorem_about_claw
 
|statement = Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>, тогда каждая вершина <tex>B</tex> {{---}} центр лапы в <tex>G</tex>.
 
|statement = Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>, тогда каждая вершина <tex>B</tex> {{---}} центр лапы в <tex>G</tex>.
|proof = Предположим, что <tex>x\in B</tex> не является центром лапы. Тогда <tex>x</tex> смежна не более чем с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>  
+
|proof = Предположим, что <tex>x\in B</tex> не является центром лапы. Тогда <tex>x</tex> смежна не более чем с двумя [[Отношение связности, компоненты связности#def2 | компонентами связности]] графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>  
Введём обозначение <tex>B'   =   B\setminus   x</tex>. <br>
+
Пусть <tex>B' = B\setminus \{ x \}</tex>. <br>
 
Найдём соотношение между [[ Теорема Татта о существовании полного паросочетания#odd | <tex>\mathrm{odd}</tex> ]]<tex>(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex>. <br>
 
Найдём соотношение между [[ Теорема Татта о существовании полного паросочетания#odd | <tex>\mathrm{odd}</tex> ]]<tex>(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex>. <br>
 
Для этого рассмотрим всевозможные случаи количества компонент связности в графе <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности (компоненты в <tex>B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, нас не интересуют). <br>
 
Для этого рассмотрим всевозможные случаи количества компонент связности в графе <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности (компоненты в <tex>B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, нас не интересуют). <br>
 
#  <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>.[[ Файл:GraphsForLaps.png|300px|thumb|right|<tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex> ]] <br>
 
#  <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>.[[ Файл:GraphsForLaps.png|300px|thumb|right|<tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex> ]] <br>
#: a) Одна компонента чётная, другая {{---}} нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
+
#:* Одна компонента чётная, другая {{---}} нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
#: b) Обе компоненты чётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>
+
#:* Обе компоненты чётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>
#: c) Обе компоненты нечётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
+
#:* Обе компоненты нечётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
 
#<tex>x</tex> смежна с одной компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>
 
#<tex>x</tex> смежна с одной компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>
#: a) Эта компонента чётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>
+
#:* Эта компонента чётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>
#: b) Эта компонента нечётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\  =  \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
+
#:* Эта компонента нечётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\  =  \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
#  <tex>x</tex> не смежна ни с какой компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>
+
#  <tex>x</tex> не смежна ни с какой компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>
Рассмотрев случаи, видим, что для любого из них выполнено: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
+
#: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>
 +
Для любого из случаев выполнено: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>
 
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
 
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
 
Тогда <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B')\  \geqslant  |B| - 1 + \mathrm{def}(G) </tex>. <br>  
 
Тогда <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B')\  \geqslant  |B| - 1 + \mathrm{def}(G) </tex>. <br>  
То есть <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
+
То есть <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G) </tex>. <br>
 
Тогда возможны два случая:
 
Тогда возможны два случая:
# Если выполняется равенство <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) </tex>, то, по определению, <tex>B'</tex> является барьером. <br>
+
# Если выполняется равенство <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) </tex>, то, по определению, <tex>B'</tex> является барьером. <br>
 
#: Но <tex>|B'| < |B| </tex>, а значит, <tex>B</tex> не является минимальным по включению барьером <tex>\Rightarrow</tex> противоречие условию теоремы. <br>
 
#: Но <tex>|B'| < |B| </tex>, а значит, <tex>B</tex> не является минимальным по включению барьером <tex>\Rightarrow</tex> противоречие условию теоремы. <br>
# Если <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G)</tex>, то <br>
+
# Если <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G)</tex>, то есть <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex>. <br>
#: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex>, что противоречит [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#Th_Berge| теореме Бержа ]]. <br>
+
#: Тогда, по [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#Th_Berge| теореме Бержа]], <tex>\mathrm{def}(G) \ne \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex> <tex>\Rightarrow</tex> противоречие. <br>
 
В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и <tex>\forall x\in B</tex> является центром лапы в <tex>G</tex>.
 
В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и <tex>\forall x\in B</tex> является центром лапы в <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 64: Строка 65:
 
|proof= Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>. Тогда, по предыдущей теореме имеем <tex>B = \varnothing </tex>.<br>
 
|proof= Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>. Тогда, по предыдущей теореме имеем <tex>B = \varnothing </tex>.<br>
 
По условию <tex>G</tex> {{---}} связный граф с чётным числом вершин <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 </tex>. <br>
 
По условию <tex>G</tex> {{---}} связный граф с чётным числом вершин <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 </tex>. <br>
<tex>B</tex> {{---}} барьер <tex>\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = 0 </tex>. Значит, количество вершин, не покрытых [[ Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#maximal_matching | максимальным паросочетанием ]], равно 0, то есть в <tex>G</tex> существует совершенное паросочетание.
+
<tex>B</tex> {{---}} барьер и он пуст <tex>\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = 0 </tex>. Значит, количество вершин, не покрытых [[ Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#maximal_matching | максимальным паросочетанием ]], равно <tex>0</tex>, то есть в <tex>G</tex> существует совершенное паросочетание.
 
}}
 
}}
  
Строка 75: Строка 76:
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
*  Карпов Д. В. {{---}} Теория графов, стр 55
 
*  Карпов Д. В. {{---}} Теория графов, стр 55
 +
*  Ловас Л., Пламмер М. {{---}} Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии, стр 165-166
  
 
[[ Категория: Алгоритмы и структуры данных ]]
 
[[ Категория: Алгоритмы и структуры данных ]]
 
[[ Категория: Задача о паросочетании ]]
 
[[ Категория: Задача о паросочетании ]]

Версия 17:27, 24 декабря 2017

Определение:
Лапой (англ. claw) называется индуцированный подграф графа [math]G[/math], изоморфный двудольному графу [math]K_{1, 3}[/math].
Лапа




Определение:
Центром лапы (англ. claw center) называется вершина степени три в лапе.




Определение:
Минимальным по включению барьером (англ.minimal barrier) называется барьер, который перестанет быть барьером при исключении из него любой вершины.




Теорема:
Пусть [math]B[/math] — минимальный по включению барьер графа [math]G[/math], тогда каждая вершина [math]B[/math] — центр лапы в [math]G[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим, что [math]x\in B[/math] не является центром лапы. Тогда [math]x[/math] смежна не более чем с двумя компонентами связности графа [math]G \setminus B[/math].
Пусть [math]B' = B\setminus \{ x \}[/math].
Найдём соотношение между [math]\mathrm{odd}[/math] [math](G\setminus B')\ [/math] и [math]\mathrm{odd}(G\setminus B)\ [/math].
Для этого рассмотрим всевозможные случаи количества компонент связности в графе [math]G \setminus B[/math], с которыми смежна [math]x[/math], и посмотрим на их четности (компоненты в [math]B[/math], с которыми смежна [math]x[/math], нас не интересуют).

  1. [math]x[/math] смежна с двумя компонентами связности графа [math]G \setminus B[/math].
    [math]x[/math] смежна с двумя компонентами связности графа [math]G \setminus B[/math]

    • Одна компонента чётная, другая — нечетная. Тогда [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math].
    • Обе компоненты чётные: [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math].
    • Обе компоненты нечётные: [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math].
  2. [math]x[/math] смежна с одной компонентой связности графа [math]G \setminus B[/math].
    • Эта компонента чётная: [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math].
    • Эта компонента нечётная: [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math].
  3. [math]x[/math] не смежна ни с какой компонентой связности графа [math]G \setminus B[/math].
    [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math].

Для любого из случаев выполнено: [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math].
[math]B[/math] — барьер [math] \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) [/math].
Тогда [math] \mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G) [/math].
То есть [math] \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G) [/math].
Тогда возможны два случая:

  1. Если выполняется равенство [math] \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) [/math], то, по определению, [math]B'[/math] является барьером.
    Но [math]|B'| \lt |B| [/math], а значит, [math]B[/math] не является минимальным по включению барьером [math]\Rightarrow[/math] противоречие условию теоремы.
  2. Если [math]\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \gt \mathrm{def}(G)[/math], то есть [math]\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \gt \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\[/math].
    Тогда, по теореме Бержа, [math]\mathrm{def}(G) \ne \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\[/math] [math]\Rightarrow[/math] противоречие.
В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и [math]\forall x\in B[/math] является центром лапы в [math]G[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (D.P.Sumner, M.Las Vergnas, следствие из теоремы):
Пусть [math]G[/math] — связный граф, не содержащий лапы, [math]v(G)[/math] чётно. Тогда [math]G[/math] имеет совершенное паросочетание .
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]B[/math] — минимальный по включению барьер графа [math]G[/math]. Тогда, по предыдущей теореме имеем [math]B = \varnothing [/math].
По условию [math]G[/math] — связный граф с чётным числом вершин [math]\Rightarrow [/math] [math]\mathrm{odd}(G\setminus \varnothing )\ = 0 [/math].

[math]B[/math] — барьер и он пуст [math]\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = 0 [/math]. Значит, количество вершин, не покрытых максимальным паросочетанием , равно [math]0[/math], то есть в [math]G[/math] существует совершенное паросочетание.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Карпов Д. В. — Теория графов, стр 55
  • Ловас Л., Пламмер М. — Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии, стр 165-166