Лапы и минимальные по включению барьеры в графе

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Лапой называется индуцированный подграф графа [math]G[/math], изоморфный двудольному графу [math]K_{1,\;3}[/math]


Определение:
Центр лапы — вершина степени 3 в лапе


Определение:
Минимальный по включению барьер — барьер минимальной мощности


Теорема:
Пусть [math]B[/math] - минимальный по включению барьер [math]G[/math], тогда каждая вершина [math]B[/math] - центр лапы в [math]G[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\in B[/math] не является центром лапы. Тогда [math]x[/math] смежна не более чем с двумя компонентами связности графа [math]G \setminus B[/math].
Обозначим [math]B' = B\setminus x[/math]
Найдём соотношение между [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ [/math] и [math]\mathrm{odd}(G\setminus B)\ [/math]
Рассмотрим возможные случаи количества компонент связности в [math]G \setminus B[/math], с которыми смежна [math]x[/math], и посмотрим на их четности(компоненты в [math]B[/math] нас не интересуют)

  1. [math]x[/math] смежна с двумя компонентами связности [math]G \setminus B[/math].
    a) Одна четная, другая - нечетная. Тогда [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math]
    b) Обе чётные : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]
    c) Обе нечётные : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math]
  2. [math]x[/math] смежна с одной компонентой связности [math]G \setminus B[/math].
    a) Она чётная : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]
    b) Она нечётная : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 [/math]
  3. [math]x[/math] не смежна ни с какой компонентой связности [math]G \setminus B[/math] : [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 [/math]
[math]\triangleleft[/math]