Изменения

|definition = LeftЛевостороннее красно-leaning Red-Black Trees черное дерево {{---}} модификация [[Красно-черное дерево|тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черных деревьев]], имеющая ряд преимуществ на классической структурой. Разработана Робертом Соджевиском в 2008 годучерного дерева поиска.

 ==ПреимуществаСвойства==* необходимо менее 80 строчек кода для реализации структуры Корневой узел всегда черный.* более быстрая вставка, удаление элементовКаждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.* простотаКаждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным. 

Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичное двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инвариантные свойства инварианты при вставке и удалении:* Ни один обход путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.

Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращениямивращением вправо и вращением влево. Эти операции Первая операция трансформируют <tex>3</tex>-узел(совокупность из <tex>3</tex> узлов, где <tex>2</tex> узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной),левый потомок которого окрашен в красный, в <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный и ,вторая операция {{---}} наоборот. Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.===РеализацияПсевдокод===[[File:rotateRight.png|400px310px|thumb|upright|Rotate Right]]<code> '''Node''' rotateRight( h : '''Node''') :

h.left= x.right x.right= h

'''return''' x</code>[[File:rotateLeft.png|400px310px|thumb|upright|Rotate Left]]<code> '''Node''' rotateLeft( h : '''Node''') :

'''return''' x</code>

В красно-черных деревьях используется такая операция как <tex>color flip</tex>'''переворот цветов''' , которая инвертирует цвет узла и двух его детей. Она не изменяет количество черных узлов при на любом обходе пути от корня до листьев деревалиста, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов. ===Псевдокод===[[File: ColorFlip.png|400px320px|thumb|upright| Color FlipПереворот цветов]]<code> '''void''' flipColors( h : '''Node''' h) :

h.left.color = '''!''' h.left.color h.right.color = <tex> '''!</tex> ''' h.right.color ==Вставка==Вставка в ЛСКЧД базируется на <tex>4</codetex>простых операциях:

<code> ===Псевдокод=== '''void''' insert( key : '''keyKey''' , value : Key, '''valueValue''' : Value ):

<code> '''Node''' insert( h : '''Node''', key : '''Key''', value : '''Value''') <span style="color:#008000">// Вставка нового листа</span> '''if''' h == ''null''

<span style="color:#008000">// Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками</span> '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right) colorFlip(h) <span style="color:#008000">// Стандартная вставка [[Дерево поиска, наивная реализация|в дереве поиска]]</span> '''intif''' cmp key = h.key.compareTo( h.key) val = value '''else''' '''if''' key < h.key cmp == 0 h.val left = insert(h.left, key, value)

<span style="color:#008000">// Принудительное вращение влево</span> '''if''' isRed(h.right) '''&&''' '''!'''isRed(h.left) h = rotateLeft(h) <span style="color:#008000">// Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>

h = rotateRight(h) '''return''' ''h''</code>

==Поиск==Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации дерева поиска]].Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от корня до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы <tex>O(h)</tex>, где <tex>h<code/tex>{{---}} высота дерева.===Псевдокод=== '''Value''' search(key : '''Key'''): '''Node''' x = root '''while''' (x '''!'''= null) '''intif''' cmp key = key.compareTo(x.key) '''if''' cmp == 0 '''return''' x.val '''else''' '''if''' cmp key < 0x.key x = x.left

'''if''' cmp key > 0 x.key x = x.right '''return''' ''null''</code>

==УдалениеИсправление правых красных связей==f cient implementation of the delete operation is a challenge in many symbol-table implementa- tions, and red-black trees are no exception. Industrial-strength implementations run to over 100 lines of code, and text books generally describe the operation in terms of detailed case studies, eschewing full implementations. Guibas and Sedgewick presented a delete implementation in [7], but it is not fully speci ed and depends on a call-by-reference approach not commonly found in modern code. The most popular method in common use is based on a parent pointers (see [6]), which adds substantial overhead and does not reduce the number of cases to be handled*Использование Переворота цветов и вращений сохраняет баланс черной связи.The code on the next page is a full implementation of *После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с <tex>delete()4</tex> for LLRB 2-3 trees. It is based on the reverse of the approach used for insert in top-down 2-3-4 treesя потомками <span style="color: we perform rotations and color ips on the way down the search path to ensure that the search does not end on a 2-node, so that we can just delete the node at the bottom. We use the method #008000">// Исправление правых красных связей<tex/span> '''Node''' fixUp(h : '''Node''') '''if''' isRed(h.right)</tex> to share the code for the color ip and rotations following therecursive calls in the <tex>insert h = rotateLeft(h) <span style="color:#008000">//Вращение <tex> code.With 2</tex>fixUp()-ой красной пары пары</texspan>, we can leave right-leaning red links and unbalanced 4-nodes along the search path, securethat these conditions will be xed on the way up the tree. '''if''' isRed(The approach is also effective 2-3-4 trees, but requires an extra rotation when the right nodeoff the search path is a 4-nodeh.left)As a warmup, consider the delete-the-minimum operation, where the goal is to delete the bottom node on the left spine while maintaining balance'''&&''' isRed(h. To do so, we maintain the invariant that the current node or its left child is red. We can do so by moving to the left unless the current node is red and its left child and left grandchild are both black. In that case, we can do a color ) h = rotateRight(h) ip, which restores the invariant but may introduce successive reds on the right. In that case, we can correct the condition with two rotations and a <span style="color ip. These operations are implemented in the :#008000">// Балансировка узла с <tex>moveRedLeft()4</tex> method on the next page-я потомками</span> '''if''' isRed(h. With left) '''&&''' isRed(h.right) colorFlip(h) '''return''' h ==Удаление максимума==* Спускаемся вниз по правому краю дерева.* Если поиск заканчивается на узле с <tex>moveRedLeft()4</tex>, the recursive implementation of -мя или <tex>deleteMin()5</tex> above is straightforward-ю потомками, просто удаляем узел.For general deletion, we also need [[File:34-nodeRemove.png|310px|thumb|center| Узлы до и после удаления]] * Удаление узла с <tex>moveRedRight()2</tex>, which is similar, but simpler, and we need to rotate left-leaning red links to the right on the search path to maintain the invariant. If the node to be deleted is an internal nodeя потомками нарушает балансСоответственно, we replace its key and value elds with those in the minimum node in its right subtree and then delete the minimum in the right subtree (or we could rearrange pointers to use the node instead of copying elds). The full implementation of спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно <tex>delete()2</tex> that dervies from this discussion is given on the facing page. It uses one-third to one-quarter the amount of code found in typical implementationsм. It has been demonstrated before [2[File:changeNode.png|600px|thumb|center| ]] Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, 11либо правый предок узла '''красный'''.Будем придерживаться тактики , 13] that maintaining a eld in each node containing its height can lead to code for delete that is similarly conciseчто удалять лист легче, but that extra space is a high price to pay in a practical implementationчем внутренний узел. With <tex>LLRB</tex> trees Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, we can arrange for concise code having a logarithmic performance guarantee and using no extra spaceнеобходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.<code>[[File:MinEasy.png|400px|thumb|right| Перемещение красной ссылки. Простой случай]]  [[File:MinHard.png|400px|thumb|right| Перемещение красной ссылки. Сложный случай]] ===Псевдокод=== '''void''' deleteMindeleteMax() root = deleteMindeleteMax(root); root.color = BLACK; </code> '''Node''' deleteMinmoveRedLeft(h : '''Node''') colorFlip(h) '''if ''' isRed(h.right.left h.right =rotateRight(h.right) h = rotateLeft(h) colorFlip(h) '''return''' h   '''Node'''nulldeleteMax(h : '''Node''') '''if'''returnisRed(h.left) <span style="color:#008000">// вращаем все 3-вершины вправо</span> h = rotateRight(h) <span style="color:#008000">// поддерживаем инвариант (h должен быть красным)</span> '''if''' h.right == ''null' ' return ''null''; <span style="color:#008000">// заимствуем у брата если необходимо</span> '''if !'''!isRed(h.leftright) '''&& !'''!isRed(h.leftright.left) h = moveRedLeftmoveRedRight(h); <span style="color:#008000">// опускаемся на один уровень глубже </span> h.left = deleteMindeleteMax(h.left); <span style="color:#008000">// исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх</span> '''return''' fixUp(h); ==Удаление минимума==Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.

Delete-the-minimum code for LLRB 2-3 treesЗаметим, что если левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.[[File:MoveRedLeftEasy.png.png |400px|thumb|upright|Перемещение красной ссылки. Простой случай]][[File:MoveRedLeftNoEasy.png|400px|thumb|upright|Перемещение красной ссылки. Сложный случай]]<code>===Псевдокод=== '''voidNode''' deleteMinmoveRedLeft(h : '''Node''') colorFlip(h): root = deleteMin if isRed(rooth.right.left) root h.color right = BLACKrotateRight(h.right)</code> h = rotateLeft(h) colorFlip(h) '''return''' h

<code> '''Nodevoid''' deleteMin( h : '''Node'''): '''if''' h.left root == ''null'' '''return''' ''null'' '''if''' !isReddeleteMin(h.left) '''&&''' !isRed(h.left.leftroot) h = moveRedLeft(h) h root.left color = deleteMin(h.left) '''return''' fixUp(h)</code>BLACK

<code> '''Node''' moveRedLeftdeleteMin(h : '''Node''' ) <span style="color: #008000">// удаляем узел на нижнем уровне(hдолжен быть красным по инварианту):</span> colorFlip( if h).left == ''null'' '''return''' ''null'' <span style="color:#008000">// Если необходимо, пропушим красную ссылку вниз</span> '''if (!''' isRed(h.right.left) '''&& !'''isRed(h.right = rotateRight(hleft.rightleft)) h = rotateLeftmoveRedLeft(h) colorFlip<span style="color:#008000">// опускаемся на уровень ниже </span> h.left = deleteMin(h.left) '''return''' fixUp(h </code> )

<code> '''Node''' moveRedRight(h :'''Node''' ): colorFlip(h) '''if''' isRed(h.left.left)) h = rotateRight(h) colorFlip(h) '''return''' h </code><code> '''void''' delete(key : '''Key'''): root = delete(root, key)Асимптотика== rootАсимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике [[Красно-черное дерево|базовой реализации красно-черных деревьях]].color = BLACK </code>

<code> '''Node''' delete('''Node''' : h, '''Key''' : key): '''if''' key.compareTo(h.key) < 0) '''if''' !isRed(h.left) '''&&''' !isRed(h.left.left) h = moveRedLeft(h) h.left = delete(h.left, key) '''else''' '''if''' isRed(h.left) h = rotateRight(h) '''if''' key.compareTo(h.key) == 0 '''&&''' (hСм.right также == null) '''return''' ''null''*[[Красно-черное дерево]] '''if''' !isRed(h.right) '''&&''' !isRed(h.right.left)*[[Дерево поиска, наивная реализация]] h = moveRedRight(h) '''if''' key.compareTo(h.key) =Источники информации== 0 h.val = get(h.right* Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" , min(h.right).key) h.key = min(h.right).key h.right = deleteMin(h.right) '''else''' h.right = delete(h.rightDepartment of Computer Science, key)Princeton University '''return''' fixUp(h)</code>[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]